*RAINDROP*

ÁLGEBRA E GEOMETRIA ALGÉBRICA 

2009

2010

Existem no país, grosso modo, três grupos de álgebra organizados em torno dos seguintes temas:  

Álgebras não associativas, não comutativas e Teoria de Representações,

Teoria de Grupos,

Geometria Algébrica, Álgebra Comutativa e Teoria dos Números. 

      Os membros destes grupos atuam essencialmente nas cidades de Brasília, Belo Horizonte, Campinas, Recife, Rio de Janeiro, Porto Alegre e São Paulo, com uma teia de colaboradores que cobre extensa parte do território nacional. Nos últimos anos, a área de Álgebra no país tem crescido vigorosamente e vem abordando uma grande gama de assuntos centrais e atuais dentro da Matemática. O potencial de crescimento da área é grande, pois tem atraído um número crescente de alunos de doutorado, de pós-doutores do exterior, bem como um largo espectro de colaboradores internacionais, em função da boa qualidade do trabalho científico que realiza. As reuniões científicas organizadas pelos três grupos tem atraído grande número de participantes nacionais e internacionais de alto nível. Vários alunos formados atuam como docentes em centros emergentes e continuam colaborando cientificamente com os grupos, contribuindo para o desenvolvimento científico harmonioso nas várias regiões do país. 

 

Em mais detalhes, eis os grupos: 

 Grupo de Álgebras e Representações

   As áreas de álgebras não-associativas, álgebras não-comutativas e de teoria de representações de álgebras têm apresentado umdesenvolvimento significativo durante os últimos anos. Da física, geometria e topologia algébrica, tiveram origem várias estruturas não-associativas ou não-comutativas que são objeto de estudo dos membros desse grupo. 

     Parte significativa do grupo dedica-se ao estudo de várias classes de álgebras não-associativas e suas representações que se originaram na teoria do campo quântico e na geometria não-comutativa e que têm aplicações nessas áreas. Outra parte do grupo dedica-se ao estudo de álgebras com identidades polinomiais, involuções e graduações em álgebras relevantes provenientes de outras áreas da matemática, tais como álgebras de Hopf, ou álgebras com ações de grupos. Finalmente, o restante do grupo ocupa-se do estudo da teoria de representações de álgebras de Artin, a partir de uma análise aprofundada das respectivas categorias de módulos. Essas pesquisas possuem conexão com as álgebras cluster provenientes da Física.

 

 As linhas e projetos de pesquisa concentram-se, presentemente, nos seguintes temas:

  •  Álgebras e superálgebras alternativas e de Jordan e suas generalizações,
  • Categorias de Harish-Chandra e geometria não comutativa,
  • Aspectos de teoria de representações em teoria quântica de campos,
  • Representações de álgebras e superálgebras de Lie,
  • Identidades polinomiais de estruturas não associativas,
  • A-identidades e graduações em álgebras matriciais,
  • Identidades graduadas satisfeitas por álgebras de Lie,
  • Classes de álgebras definidas a partir de propriedades homológicas,
  • Álgebras Cluster,
  • Teoria Tilting

     

    Este grupo, sediado essencialmente no IME-USP e no IMECC-Unicamp, possui colaboradores espalhados em 5 centros nacionais e em mais de 20 instituições renomadas em cerca de 10 países. O número atual de alunos de mestrado e doutorado desse grupo é, dinamicamente, 15. Nos últimos dois anos, a publicação do grupo e de seus colaboradores nacionais é de 50 artigos em periódicos de reputação internacional. 

     Equipe Nacional: F . Coelho (USP), V. Futorny (USP), A. Grichkov (USP), P. Koshlukov (UNICAMP), L. Peresi (USP), I. Shestakov (USP). 

     Grupo de Teoria dos Grupos

     A estrutura de grupo é uma das mais básicas em Matemática, fazendo com que a Teoria dos Grupos seja um dos assuntos mais tradicionais e mais estudados da Matemática, com aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. Na atualidade, esta teoria continua com uma grande vitalidade, e com uma rica e variada problemática.  

     Um dos grandes problemas que orientou a Teoria de Grupos desde o ínicio do século passado foi o problema  de Burnside sobre a finitude de grupos finitamente gerados cujos elementos têm ordem finita, e variantes, problemas que têm interessado muito aos pesquisadores brasileiros na área.  Recentemente, a Teoria de Grupos tem se beneficiado de métodos geométricos e homológicos, sendo grande a interação com a Teoria de Álgebras, uma interação a que têm se dedicado avidamente os pesquisadores brasileiros. 

     As linhas e projetos de pesquisa dos membros desse grupo concentram-se, presentemente, nos seguintes temas: 

  • Grupos de Automorfismos de Árvores, Grupos gerados por Automata e Aspectos Dinâmicos;
  • Grupos pro-finitos e aplicações à Teoria de Galois infinita, grupos geométricos e álgebras de grupos;
  • Grupos satisfazendo leis fixas: generalizações do problema de Burnside;
  • Variedades limites de grupos e álgebras;
  • Propriedades homológicas de grupos, álgebras de Lie e de Hopf, invariantes Sigma. 

 Este grupo, distribuído pela UnB e UNICAMP possui colaboradores em outros 2 centros nacionais e em 17 instituições internacionais renomadas distribuídas por 10 países. Atualmente os membros do grupo orientam 15 alunos de mestrado e doutorado. Nos últimos dois anos publicaram 26 artigos científicos em revistas especializadas. 

 Equipe Nacional: D. Kochloukova (UNICAMP), A. Krasilnikov (UnB), P. Shumyatsky (UnB), S. Sidki (UnB), P. Zalesski (UnB).

 Grupo de Geometria Algébrica, Álgebra Comutativa e Teoria dos Números

Desde as suas origens, a Geometria Algébrica, a Álgebra Comutativa e a Teoria dos Números vêm ocupando posição estratégica dentro da Matemática, o que se comprova pela importância dos matemáticos que a elas têm se dedicado. Porquanto, inicialmente, áreas de cunho puramente teórico, passam a ter, a partir das duas últimas décadas do século XX, variadas aplicações a outras partes da própria matemática e à tecnologia. Estas aplicações varrem um longo espectro, desde a combinatória e a matemática discreta em geral à teoria de códigos e comunicações, da química de reações à modelagem de placas industriais e, mais recentemente, de algoritmos de Bézier generalizados a cadeias de Markov em estatística e em genética (genoma).

 As pesquisas deste grupo estão focadas em temas centrais das áreas, e em aplicações a outros ramos da Matemática e, potencialmente, a processos tecnológicos atuais. No que tange a Geometria Algébrica, tais temas compreendem, por um lado, o estudo local das variedades algébricas através da análise e classificação de suas singularidades e, por outro, o estudo global dessas variedades, bem como o de famílias de variedades, no que diz respeito às propriedades projetivas, à classificação e também a aspectos aritméticos. Por sua vez, as pesquisas desenvolvidas em Álgebra Comutativa se concentram no desenvolvimento de refinadas estruturas algébricas que se originam tanto no estudo de singularidades, quanto no estudo das variedades projetivas. Finalmente, as pesquisas em Teoria dos Números têm como foco o estudo de pontos racionais de variedades algébricas definidas sobre corpos de números, corpos finitos ou corpos de funções. Vários desses tópicos têm uma fronteira relevante com as Equacões Diferenciais, a Topologia, a Matemática Discreta e a Teoria de Algoritmos, bem como, conforme citado mais acima, com a Teoria de Códigos e a Criptografia, possuindo um grande potencial de interação com a Engenharia e Ciência da Computação.  

 Mais especificamente, as linhas e projetos de pesquisa dos membros desse grupo concentram-se, presentemente, nos seguintes temas:    

  • Teoria algébrica local de singularidades,
  • Famílias e espaços de moduli de variedades: os moduli de curvas e de fibrados,
  • Teoria algébrica de folheações: estudo de invariantes geométricos, algébricos e numéricos.
  • Estrutura de variedades projetivas: variedades secantes, tangenciais e duais associadas,
  • Geometria Birracional: transformações de Cremona, “blowups” e “flips”,
  • O Problema de Classificação de variedades algébricas em dimensão 3 ou maior,
  • Geometria Enumerativa,
  • Computação Algébrica,
  • Álgebra graduadas associadas a ideais ou módulos: álgebras de Rees,
  • Curvas sobre corpos finitos: estudo de pontos racionais com aplicações à Teoria dos Códigos Lineares,
  • Teoria de Iwasawa não comutativa para variedades abelianas sobre corpos de funções. 

    O grupo consiste de 9 pesquisadores provenientes de 6 centros em 4 estados da federação. Tem 18 colaboradores nacionais provenientes de 10 universidades. O número atual de alunos de mestrado e doutorado desse grupo é, dinamicamente, 30, um universo que deverá crescer a médio prazo. Manifestação destacada desse grupo é a carteira de colaboração com pesquisadores estrangeiros, cobrindo cerca de 30 instituições renomadas em 11 países. Nos últimos dois anos, publicaram 32 artigos em periódicos de reputação internacional. 

     Equipe Nacional: C. Araujo (IMPA), S. C. Coutinho (UFRJ), E. Esteves (IMPA), A. Garcia (IMPA), A. Hefez (UFF), A. Pacheco (UFRJ), I. Pan (UFRGS), A. Simis (UFPE), I. Vaisencher (UFMG).

    Equipe Nacional Global: C. Araujo (IMPA); F. Coelho (USP); S. C. Coutinho (UFRJ); E. Esteves (IMPA); V. Futorny (USP); A. Garcia (IMPA); A. Grichkov (USP); A. Hefez (UFF); D. Kochloukova (UNICAMP); P. Koshlukov (UNICAMP); A. Krasilnikov (UnB); A. Pacheco (UFRJ); I. Pan (UFRGS); L. Peresi (USP); I. Shestakov (USP); P. Shumyatsky (UnB); S. Sidki (UnB); A. Simis (UFPE); I. Vainsencher (UFMG); P. Zalesski (UnB).

    Principais Colaboradores Nacionais: M. Abdón (UFF); D. Avritzer (UFMG); M. Guerreiro (UFV); M. E. Hernandes (UEM); D. Levcovitz (USP); N. Medeiros (UFF); L. G. Mendes (UFRGS); M. Pacini (UFF); J. V. Pereira (IMPA); A. Pinto (UnB); M. Soares (UFMG); F. Torres (UNICAMP).

    Principais Colaboradores Estrangeiros: M. Chardin (Paris, França); L. Caporaso (Roma, Itália); C. Ciliberto (Roma, Itália); S. David (Paris, França); I. Dimitrov (Queen's, Canadá); S. Druel (Grenoble, França); M. Duflo (Paris, França); E. Frenkel (Berkeley, EUA); G. Gonzalez-Sprinberg (Instituto Fourier, França); W. Herfort (Viena, Áustria); M. Hindry (Paris, França); V. Kac (MIT, EUA); S. Kleiman (MIT, EUA); S. Kovács (Seattle, EUA); G. Mikhalkin (Genebra, Suíça); J. A. de la Peña (UNAM, México); I. Penkov (Bremen, Alemanha); C. Polini (Notre Dame, EUA); L. Robbiano (Gênova, Itália); D. Segal (Oxford, Inglaterra); V. Serganova (Berkeley, EUA); H. Stichtenoth (Essen, Germany); B. Ulrich (Purdue, EUA); W. Vasconcelos (Rutgers, EUA); R. Villarreal (CINVESTAV, México); J. Wilson (Oxford, Inglaterra); M. Zaicev (Moscou, Rússia); E. Zelmanov (San Diego, EUA). 

    Plano de Atividades:  

  • Tenth Meeting on Commutative Algebra and Algebraic Geometry – 2009
  • 27º Colóquio Brasileiro de Matemática – 2009
  • Mini-encontro temático com alunos de doutorado – 2009
  • Conferência Internacional “Álgebras, representações e aplicações (Lie and Jordan Algebras, IV)" – 2009
  • WAGP 09 - Workshop "Representation Theory, Algebraic Geometry and Mathematical  Physics – 2009
  • Workshop em Representações de Álgebras, 2009
  • XXI Escola de Álgebra - 2010
  • FOLGA (Folheações Holomorfas e Geometria Algébrica) – 2010
  • Mini-encontro temático com alunos de doutorado – 2010
  • Workshop em Teoria Algébrica de Singularidades – 2010
  • Workshop IME-USP – 2010.
  • Eleventh Meeting on Commutative Algebra and Algebraic Geometry – 2011
  • 28º Colóquio Brasileiro de Matemática – 2011
  • FOLGA (Folheações Holomorfas e Geometria Algébrica) – 2011
  • Conferência Internacional “Lie and Jordan Algebras, V" – 2011
  • Mini-encontro temático com alunos de doutorado – 2011
  • Workshop em Representações de Álgebras, 2011
  • XXII Escola de Álgebra - 2012
  • FOLGA (Folheações Holomorfas e Geometria Algébrica) – 2012
  • Mini-encontro temático com alunos de doutorado – 2012
  • Workshop em Teoria Algébrica de Singularidades - 2012
  • Mini-encontro temático com alunos de doutorado – 2013
  • Twelveth Meeting on Commutative Algebra and Algebraic Geometry – 2013
  • Workshop em Representações de Álgebras – 2013

    Formação de Pesquisadores:

    Acreditamos que ao final de 2013 teremos capacidade para formar 12 doutores por ano.