*RAINDROP*

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

2009

2010

I. Apresentação

A área de equações diferenciais parciais (EDP) é uma das áreas mais ativas da matemática contemporânea. Além dos artigos publicados na área 35 do MSC2000, muito da produção das áreas 30, 31, 32, 34, 39, 42, 45, 46, 47, 49, 58 e 65, além das áreas mais aplicadas 73, 76, 78, 80, 81, 82, 83, 86, 92 e 93, corresponde, efetivamente, a produção em EDP (fonte: Math Map). Ao todo, cerca de 10% da produção de artigos em matemática corresponde a pesquisa nesta área (fonte: MathSciNet). Além disso a área se caracteriza por uma ampla diversidade geográfica, com centros de excelência espalhados por todo o mundo, intensa atividade de congressos e escolas e dúzias de periódicos dedicados às diferentes sub-áreas de EDP. Entre os dez artigos mais citados no MathSciNet a maioria são, sistematicamente,  artigos na área de EDP. Esta escala diferenciada da EDP internacional se reflete também no Brasil, onde cerca de 100 doutores em EDP produzem cerca de 15% dos artigos de matemática publicados pela comunidade brasileira (fonte: MathSciNet). A área se encontra representada em quase todos os programas de doutorado do país, tendo produzido, em média, 15 doutores por ano entre 2003 e 2006 (mais precisamente 61 – fonte: CAPES). Trata-se de uma comunidade cientificamente madura e internacionalmente expressiva, com produção e impacto comparável ao das respectivas comunidades em outros países. Esta comunidade de pesquisa se divide naturalmente em seis ou sete escolas, refletindo primariamente a história da área no Brasil, e apresentando uma certa impermeabilidade, tanto umas em relação às outras, quanto com relação a linha de frente da pesquisa internacional na área. Este quadro começa a se alterar espontaneamente e o objetivo central deste projeto, no que diz respeito à área de EDP, é incentivar a redução desta impermeabilidade, promovendo interações entre as escolas e ampliando a exposição da área aos problemas e às técnicas mais em voga na comunidade internacional. Isso se dará através da promoção de eventos, programas temáticos de médio prazo (3 a 6 meses de duração, em áreas novas e de atividade intensa no cenário internacional), escolas de EDP amplas, mobilidade internacional e nacional e estágios de pós-doutorado, sendo que será feito um esforço especial no sentido de recrutar candidatos a pós-doutorado também no exterior.

 A seguir descreveremos cada uma dessas escolas, identificando a equipe no Brasil, as linhas de pesquisa da sub-área e os problemas de pesquisa abordados no país. Identificamos também os principais colaboradores estrangeiros de cada uma dessas escolas.         

I.1 Equações de Evolução Dispersivas

 Equipe: Felipe Linares (IMPA), Rafael Iório (IMPA), Jaime Angulo (IME-USP), Márcia Scialom (IMECC-UNICAMP), Didier Pilod (UFRJ), Xavier Carvajal (UFRJ), Adan Corcho (UFAL), Ademir Pazoto (UFRJ), Aniura Milanes (UFMG).

 Linhas de pesquisa:

Esta área de pesquisa está concentrada no estudo qualitativo de equações dispersivas não-lineares. As equações de interesse aparecem em várias situações físicas, tais como na propagação de ondas de água, óptica, física do plasma, entre outros. Os modelos clássicos que fazem parte desta família de equações diferenciais parciais são as equações de Schrodinger não linear (NLS) e a equação de Korteweg-de Vries (KdV). Alguns dos principais tópicos de nossa pesquisa estão relacionados ao estudo da boa colocação (local e global), ao problema de valor inicial (PVI) associado a estes modelos com dado inicial de baixa regularidade e ao estudo de várias propriedades das soluções. Também estudamos a existência e estabilidade não linear de ondas viajantes (periódicas, solitárias ou kinks). Em geral as técnicas clássicas usadas no estudo do PVI não funcionam, devido em parte ao fato de que os espaços apropriados para tratar alguns desses problemas têm pouca regularidade. Neste ponto, a Análise Harmônica desempenha um papel importante no desenvolvimento da teoria. Dentre as propriedades das soluções que estamos interessados citamos o comportamento assintótico, regularidade e espalhamento não linear. Resultados relativos à estabilidade não linear de soluções particulares são do nosso interesse pela sua aplicação ao estudo da existência de blow-up de soluções do PVI. Destacamos que dois recentes ganhadores da medalha Fields (Jean Bourgain (1994), Terence Tao (2006)) e o mais recente Bocher prize (Carlos Kenig (2008)) têm desenvolvido pesquisa nessa área. Nosso grupo tem colaboração científica com vários lideres dessa área.

 Resultados já alcançados:

Desenvolvemos técnicas para obter boa colocação local em espaços com pouca regularidade, os quais nos permitem usar grandezas conservadas para estender as soluções globalmente. Obtivemos resultados globais sem a presença de quantidades conservadas e novos resultados relacionados a regularidade, decaimento e unicidade de soluções. Também desenvolvemos métodos para garantir a optimalidade de nossos resultados, como por exemplo a má colocação do PVI. Temos explorado temas da teoria de controle aplicados às equações dispersivas não lineares, em particular a equação KdV e generalizações.

Nossos principais resultados sobre a existência e estabilidade de ondas viajantes (ondas solitárias) foram obtidos com novos métodos, onde uma análise do tipo variacional foi introduzida. Obtivemos nesta linha de pesquisa os primeiros resultados sobre a estabilidade do blow-up para equações do tipo não local. Atualmente estamos interessados nas ondas viajantes periódicas. Neste caso nosso estudo está sendo pioneiro. Novas técnicas e critérios tem sido estabelecidos para determinar a estabilidade no caso de equações dispersivas locais e não locais. Obtivemos famílias de ondas viajantes periódicas para importantes equações, como a NLS e a KdV generalizada. Como aplicação dos nossos resultados mostramos má colocação do PVI para equações de evolução de alta ordem.

 Recursos humanos:

Nos últimos 6 anos formamos um total de 15 doutores (Linares (6), Angulo (5), Iorio (2), Scialom (1), Pazoto (1)). No total tivemos 26 doutores formados pelo nosso grupo. Também nos últimos 6 anos, o grupo teve 7 pós-doutorandos (sendo vários deles estrangeiros).

 Colaboradores Estrangeiros:

Carlos Kenig (University of Chicago); Gustavo Ponce (University of California); Jean-Claude Saut (Université Paris-Sud); Jerry Bona (University of Illinois-Chicago); Luis Vega (Universidad del Pais Vasco); Lionel Rosier (Université Nancy); David Lannes (Université Bordeaux); Mahendra Panthee (Universidade do Minho)

 1.2 Equações não lineares do tipo elíptico

Equipe: Djairo Guedes de Figueiredo (UNICAMP), Carlos Tomei (PUC-RJ), Orlando Lopes (IME/USP), Elves Silva (UnB), Jose Valdo Goncalves (UnB), Marcelo Montenegro (UNICAMP), João Marcos do Ó (UFPb), Olimpio Miyagaki (UFV), Eduardo Teixeira (UFC), Francisco Odair Paiva (UNICAMP), Marcelo Furtado (UnB), Claudianor Alves (UFCG).

Linhas de pesquisa:

Esta área de pesquisa encontra-se consolidada no Brasil e é a maior escola dentre as escolas de EDP, em termos de volume de produção. Os principais tópicos de pesquisa nesta área, no Brasil, são:

 Problemas de valor de fronteira (PVF) de equações elípticas não lineares e de sistemas elípticos em domínios limitados no  RN , em dimensões maiores ou iguais a 2. Estuda-se o problema de existência de solução; questões de unicidade ou condições de multiplicidade de solução; problemas com falta de compacidade e criticalidade para sistemas – aqui o problema é determinar as constantes de Sobolev ótimas e níveis de Palais-Smale. Estimativas a priori para soluções positivas – fronteiras móveis e técnicas de blow-up. Estudo do papel da dimensão em imersões. Refinamentos da teoria de pontos críticos com vistas ao tratamento de sistemas Hamiltonianos e seus funcionais fortemente indefinidos. O problema de Gelfand. Estuda-se também equações de Schrödinger estacionária e sistemas no espaço todo,  principalmente os problemas de existência de soluções, de comportamento assintótico, propriedades de simetria e a simetrização de Schwartz e problemas de Liouville tanto para equações quanto para sistemas. Ainda, outras linhas de pesquisa são o estudo de fluxos geométricos, tais como fluxos de Ricci e fluxo por curvatura média, uma direção cuja importância é ressaltada pelo uso destes fluxos na demonstração da Conjectura de Poincaré, o estudo de problemas de fronteira livre, tais como frente de propagação de chamas, e sua regularidade e, para concluir, problemas de análise global envolvendo topologia de mapas não-lineares em dimensão infinita.

 Principais Colaboradores Estrangeiros:

  • Jean-Pierre Gossez (ULB-Belgica); Bernhard Ruf (Universita di Milano-Italia); Pedro
  • Ubilla (Universidade de Santiago-Chile); P.N. Srikanth (Tata Institute- Índia); B. Sirakov
  • (Universite de Paris 13- France); M. Cuesta (Universite du Littoral-Calais-France); David
  • G. Costa (University of Nevada-USA); Augusto César Ponce (Universite de Louvain-la
  • Neuve-Belgica); Nassif Ghoussoub (University of British Columbia-Canada); Luis Caffarelli
  • (Univ. of Texas, Austin); Dan Burghelea (Ohio State Univ); Percy Deift (Courant Institute –NYU).

 Formação de doutores:

Este grupo formou 12 doutores entre 2003 e 2006 (fonte CAPES)

 I.3 Sistemas Dinâmicos Não Lineares

Equipe: Alexandre N. de Carvalho (ICMC/USP), Antônio Luiz Pereira (IME/USP),Hildebrando M. Rodrigues (ICMC/USP), Maria do Carmo Carbinato (ICMC/USP), Ma To Fu (ICMC/USP),  Sérgio Henrique Monari Soares (ICMC/USP), Gabriela del Valle Planas (UNICAMP), Cláudia Butarello Gentile (UFSCar), Luiz Augusto Fernandes de Oliveira (IME-USP), Sérgio Muniz Oliva Filho (IME-USP), Simone Mazzini Bruschi (IGCE-UNESP-Rio Claro), Marcos Roberto Teixeira Primo (UEM), Vera Lúcia Carbone (UFSCar), Eugenio Tommaso Massa (ICMC-USP), Janete Crema (ICMC/USP), Wagner Vieira Leite Nunes (ICMC/USP), Marcone Corrêa Pereira (IME-USP), Karina Schiabel Silva (UFSCar), German Jesus Lozada Cruz (IBILCE-UNESP-SJRP).

 Linhas de pesquisa:

Os pesquisadores do grupo atuam no estudo de propriedades especiais de soluções e conjuntos invariantes de sistemas dinâmicos não lineares em espaços de dimensão infinita. A questão central na qual o grupo trabalha é o estudo da dinâmica assintótica desses sistemas dinâmicos, destacando-se: O estudo da dependência dos conjuntos invariantes e de sua estrutura relativamente a perturbações singulares, a existência de soluções especiais (casos críticos evolutivos e estacionários), a genericidade de propriedades especiais de soluções, a complexidade da estrutura dos conjuntos invariantes e a dimensão desses conjuntos invariantes.

 Nas equações diferenciais, estes sistemas dinâmicos têm origem nas equações diferenciais parciais evolutivas (e.g. parabólicas e hiperbólicas), nas equações diferenciais funcionais e, nas equações diferenciais parciais elípticas (quando estudamos alguns conjuntos invariantes especiais-equilíbrios).

 Problemas de pesquisa no país:

  1. Boa colocação local para equações diferenciais semilineares em espaços de Banach  (caso crítico);
  2. Boa colocação global e existência de atratores para problemas semilineares evolutivos (autônomos ou não);
  3. Semicontinuidade superior e inferior de atratores sob perturbação (singulares ou não);
  4. Caracterização de atratores e estabilidade da caracterização sob perturbação (singulares ou não);
  5. Capacidade e dimensão de Hausdorff de atratores;
  6. Variedades Invariantes;
  7. Linearização em dimensão infinita;
  8. Norma e raio espectral de operadores limitados;
  9. Propriedades genéricas por perturbação da fronteira;
  10. O Continuação regular e singular do índice de Conley e os resultados de suspensão;
  11. O índice de Conley equivariante;
  12. O estudo das aplicações dos aspectos acima a modelos matemáticos específicos como:

Equações de Ondas, de Navier-Stokes, do Calor, de Schrödinger, Cahn-Hilliard, Termoelasticidade; Equações elípticas semilineares e quasilineares (p-Laplaciano), equações diferenciais parciais com termos não locais; etc.

Lista de Colaboradores Estrangeiros: José A. Langa (Sevilla-Espanha); Antonio Suárez (Sevilla-Espanha); Aníbal Rodriguez-Bernal (Madrid-Espanha); José Arrieta (Madrid-Espanha); James Copper Robinson (Warwick-Inglaterra); Jan W. Cholewa (Katowice-Polônia); Tomasz W. Dlotko (Katowice-Polônia); Krzysztof P. Rybakowski (Rostock-Alemanha); Joan Solà Morales (Universitat Politècnica de Catalunya); Jianhong Wu (York University-Canadá); Chun-Hua Ou (Memorial University of Newfoundland-Canadá); Boyan Sirakov (University of Paris X); Neus Consul (Universitat Politècnica de Catalunya); Peter Kloeden (Wolfgang Goethe-Universitat); Alejandro Vidal Lopez (Universidad Complutense Madrid); Francisco Guillén-González (Universidad de Sevilla); Enrique Fernandez Cara (Universidad de Sevilla); Bernard Ruf (Università Degli Studi di Milano).

 I.4 Dinâmica dos Fluidos

Equipe: Gabriela Planas (UNICAMP), Helena Nussenzveig Lopes (UNICAMP), Hermano Frid (IMPA), José Luiz Boldrini (UNICAMP), Lucas Catão de Freitas Ferreira (UFPE), Marcelo Martins dos Santos (UNICAMP), Milton da Costa Lopes Filho (UNICAMP), Ricardo Rosa (UFRJ).

 Problemas e linhas de pesquisa na área:

A modelagem matemática do comportamento de fluidos é um dos tópicos clássicos de diálogo entre a física, a matemática e a engenharia essencialmente desde a invenção do cálculo. Desde Euler e Daniel Bernoulli, muitas das idéias centrais da matemática contemporânea podem traçar sua origem a este diálogo, por exemplo, o calculo das variações, a teoria espectral, e a teoria de probabilidade. Nos últimos cinquenta anos, o progresso nesta área tem se concentrado em utilizar técnicas modernas de análise não-linear para estudar problemas em que a não-linearidade tenha um papel importante ou preponderante. Frequentemente estes problemas podem ser formulados como problemas de perturbação singular, em que se estuda de que maneira um problema limite mais simples é bem aproximado por problemas mais complexos, por exemplo, estudando-se o limite de escoamentos com viscosidade pequena, os limites da mecânica estatística para a hidrodinâmica, o comportamento efetivo de problemas com coeficientes altamente oscilatórios ou a propagação de interfaces   por aproximações suavizantes.  Estes problemas também descrevem de forma abreviada as linhas de pesquisa em andamento no Brasil.

 Um dos problemas clássicos em aberto nesta área é a existência global de solução suave para as equações de Navier-Stokes incompressíveis em três dimensões. Este problema foi escolhido como um dos “problemas do milênio” pela Fundação Clay e se tornou um dos focos da pesquisa na área. Apesar de não ser, em si, um problema de perturbação singular, esta questão está profundamente envolvida com o comportamento do limite de viscosidade evanescente para escoamentos incompressíveis, e, em última análise, com o importante problema físico, e prático, da modelagem matemática da turbulência.

Principais linhas de pesquisa no Brasil:

  1. Problemas de modelagem matemática da dinâmica de interfaces: Ondas de choque (Hermano Frid); Folhas de vórtices e escoamentos multifásicos (Helena Lopes, Milton Lopes, Marcelo Santos);  Dinâmica de mudança de fase (J. Luiz Boldrini, Gabriela Planas).
  2. O limite de viscosidade evanescente e modelagem de turbulência: Camadas limite e interação fluido-estrutura (Helena Lopes, Milton Lopes, Gabriela Planas); Modelos estatísticos de turbulência (Ricardo Rosa) .
  3. Comportamento em tempo longo: Dinâmica de vórtices (Helena Lopes, Milton Lopes); Atratores e variedades inerciais (Ricardo Rosa).
  4. Homogeneização e efeitos de oscilações em sistemas de leis de conservação (Hermano Frid).
  5. Soluções auto-similares em espaços singulares (Lucas Ferreira).

 Principais Colaboradores no Exterior: Dragos Iftimie (Univ. Lyon I); Anna Mazzucato (Penn State U.); Zhouping Xin (Chinese Univ. of Hong Kong); Eitan Tadmor (Univ. of Maryland); Steve Schochet (Tel Aviv U.); Walter Strauss (Brown U.); Robert McCann (U. Of Toronto); Peter Constantin (Univ. of Chicago); Roger Temam (Indiana U.); Michael Jolly (Indiana U.); Edriss Titi (Weizmann Inst.); Ciprian Foias (Texas A&M); Xiaoming Wang (U. of Florida); David Hoff (Indiana U.); François Bouchut (ENS - Paris); Luigi Ambrosio (U. Pisa); Gui-Qian Chen (Northwestern U.); Philippe LeFloch (Ec. Polytechnique); Benoit Perthame (U. Paris VI); Vladimir Shelukhin (Laurentiev Inst.); Francisco Guillen-Gonzalez (U. Sevilla); Enrique Fernandez-Cara (U. Sevilla); Marko Rojas-Medar (U. del Bio-Bio); José Antonio Carrillo de la Plata (Univ Autonoma de Barcelona).

 I.5 Problemas inversos e Teoria Espectral

Equipe: Fernando Cardoso (UFPE), Ramon Mendoza (UFPE), Claudio Cuevas (UFPE).

 Linhas de pesquisa:

Espalhamento e Espalhamento Inverso em dois contextos geométricos distintos: Variedades conformalmente compactas e variedades conformalmente assintoticamente euclideanas.

 Propriedades dispersivas de soluções das soluções das equações de Schrödinger e da onda. Estes fenômenos dispersivos são de grande importância no estudo de várias questões e têm intersecção crescentes com técnicas de Análise Harmônicas.

 Operadores de tipo misto (Tricomi, Gellerstedt, etc.). Obtenção de soluções fundamentais com pólos nas regiões elíptica, parabólica e hiperbólica. Estudo sobre a holonomia destas soluções fundamentais.

 Problema de suporte para ``Radiation Fields" em variedades assintoticamente euclideanas (em estudo). Problema de estimas dispersivas optimais para Schrödinger e onda, em qualquer dimensão, com condições mínimas de regularidade sobre o potencial.

 Apresentação sucinta das príncipais metas atingidas:

 F. Cardoso, G. Popov e G. Vodev obtiveram resultados sobre a localização e comportamento assintótico de ressonâncias para o problema de transmissão(obstáculos transparentes). F. Cardoso e G. Popov construíram Gevrey quasimodos, com erro exponencial associados a raios elípticos periódicos para o operador de Laplace com condições de Dirichlet em domínio com fronteira analítica. F. Cardoso e J. Barros-Neto construíram fórmulas explícitas para soluções fundamentais especiais do operador de Tricomi generalizado e do operador de Gellerstedt. F. Cardoso e G. Vodev estudaram o ``Princípio da Absorção Limite" para perturbação "long range" da métrica do laplaciano em espaços euclidianos. F. Cardoso e G. Vodev estudaram a distribuição dos valores próprios (complexos) para o problema exterior com condições de fronteira dissipativas (fronteira C1), sob certas hipóteses naturais sobre o comportamento de geodésicas e obtiveram estimativas sobre o decaimento da energia das soluções da equação de onda correspondente. F. Cardoso e G. Vodev mostraram a continuidade Hölder uniforme do resolvente do operador de Laplace-Beltrami, no eixo real, para uma classe de variedades riemannianas assintoticamente euclideanas. F. Cardoso e G. Vodev estudaram a relação entre estimavas do resolvente e propriedades dispersivas da equação da onda pertubada por um potencial eletrostático. F. Cardoso, C. Cuevas e G. Vodev provaram estimativas para soluções da equação da onda perturbadas por um potencial eletrostático real $V$ em $L^{\infty}(\rr^n), n = 2, 3$, satisfazendo condições ótimas de decaimento em infinito. Eles obtiveram ainda estimativas optimais $L^1\longrightarrow L^\infty$ para soluções de Schrödinger em dimensão 4 e 5, com o mínimo de condições possíveis de regularidade sobre o potencial.

 Colaborades principais no exterior: Antonio Sá Barreto (Purdue, USA); Georgi Vodev (Nantes, FR); Georgi Popov (Nantes, FR); Vesselin Petkov (Bordeaux, FR); J. Barros Neto (Rutgers, USA).

 I.6 Teoria Geométrica das Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas

Equipe: Adalberto Panobianco Bergamasco  (ICMC-USP), Paulo Domingos Cordaro   (IME-USP), Jorge Guillermo Hounie  (UFSCar), Gerson Petronilho  (UFSCar), Alexandre Kirilov  (UFPR), Evandro Raimundo da Silva (ICMC-USP), Gustavo Hoepfner (USP-Ribeirão Preto),  José Ruidival do Santos Filho (UFSCar),  Joaquim Tavares (UFPE),  Luis Antonio Carvalho dos Santos (UFSCar),  Paulo Dattori da Silva (USP-Ribeirão Preto), Paulo R. Santiago (UFPE),  Sérgio Luis Zani (ICMC-USP).

 A área de pesquisa – Sistemas localmente integráveis:

 Várias áreas deste campo requerem uma investigação cuidadosa. Uma delas é o estudo das propriedades gerais das soluções dos sistemas homogêneos associados a um dado sistema  (por exemplo, propriedades de aproximação, de propagação de singularidades, de suporte, de hipoanaliticidade, etc). Outra questão relevante é o entendimento da resolubilidade local, em diferentes graus, do complexo diferencial associado a um dado sistema; excluindo-se o caso de estruturas não-degeneradas  e de codimensão um, nada se sabe sobre o problema.  Também de relevância são o estudo de sistemas involutivos de EDP's de primeira ordem não lineares, a investigação de problemas de natureza global (tópico este ainda pouco desenvolvido mas de grande relevância) bem como a caracterização de classes de sistemas através de formas normais.

 Resultados conhecidos (e mesmo clássicos!) para estruturas complexas e CR devem encontrar um contexto natural dentro da teoria dos localmente integráveis e a análise sob  tal ponto de vista deve levar a resultados novos e relevantes, que  ajudarão a entender mais profundamente a teoria já estabelecida. 

O reconhecimento internacional do nível científico do grupo pode ser aferido pelo alto número de publicações em revistas de circulação internacional, incluindo veículos como Acta Mathematica,  Advances in Mathematics, Inventiones Mathematicae, Annals of Mathematics Studies, Duke Mathematical Journal, American Journal of Mathematics, Mathematische  Annalen, Journal of Differential Geometry, Journal of Geometrical

Analysis, Journal of Functional Analysis, Communications in P.D.E., Transactions of the AMS,  etc.

 Outros fatores de reconhecimento internacional do grupo podem ser aferidos pela expressiva participação dos maiores especialistas mundiais nos eventos organizados pelo grupo no Brasil bem como pela publicação recente do volume ``An Introduction to Involutive Structures'' na prestigiosa série ``New Mathematical Monographs - Cambridge University Press", (2008). Os autores são Berhanu, Cordaro e Hounie.

 Colaboradores no exterior: Ziad Adwan (University of Texas, E.U.A.); Shif Berhanu (Temple University, E.U.A.); Ferruccio Colombini (Universitá  di Pisa, Italia); Todor Gramchev (Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, Bulgaria); Nicholas Hanges (Lehman College, CUNY, E.U.A.); Heather Hannah (East Central University, Oklahoma, E.U.A.); Alex Himonas (University of Notre Dame, E.U.A.); Ermanno Lanconelli (Universitá  di Bologna, Italia); Gerardo Mendoza (Temple University, E.U.A.); Abdelhamid Meziani (Florida International University, E.U.A.)Ludovico Pernazza (Universitá di Pavia, Italia).

  I .7 Equações Hiperbólicas e Teoria do Controle

 Equipe: Jaime E. Muñoz Rivera (LNCC), Gustavo Perla Menzala (LNCC), Ademir Pazoto (UFRJ), Higidio Portillo Oquendo (UFPR),  Luci Harue Fatori (UEL), Juan Soriano (UEM), Mauro Santos (UFPA), Hugo Fernandez Sare (LNCC), Paulo Pamplona (UFRJ), Dilberto de Almeida Jr. (LNCC), Marcelo Cavalcanti (UEM), Valéria Domingos Cavalcanti (UEM), Ryuichi Fukuoka (UEM), Fábio Natali (UEM). 

 Linha de pesquisa:

Nossa linha de pesquisa em termos gerais é o estudo dos sistemas dinâmicos principalmente de tipo hiperbólico e a influencia dos agentes dissipativos nestes sistemas para sua estabilização e para seu controle. Estes agentes dissipativos na prática são encontrados nas leis constitutivas dos materiais (elasticidade), como por exemplo, nos materiais viscoelásticos, termoelásticos, eletromagnéticos, materiais com memória, materiais inteligentes, etc. Ou também como agentes externos, como por exemplo o atrito ou fontes externas na forma de controles.

 Estudamos sistemas lineares usando a teoría de semigrupos e analisamos o efeito dos agentes dissipativos na estabilização exponencial ou polinomial, assim como também a analiticidade, que será de muita importância para o estudo dos modelos não lineares assim como a contrabilidade destes sistemas. Nossos estudos tentam descrever de que forma a energia de um sistema se perde (dissipa), ou melhor, se é possível exibir uma taxa de decaimento desta energia à medida que o tempo passa? Podemos controlar a energia do sistema levando-o de um estágio inicial para um estágio final pré-determinados? Observe que o tempo dispendido no processo representa um desgaste adicional no sistema o que acarreta um custo adicional.

As aplicações que temos de nossos resultados têm raizes nas áreas de engenharia de materiais e materiais inteligentes, que constitue uma área de importância multidiciplinar no desenvolvimento tecnológico e industrial.

 Resultados:

 Temos publicados dezenas de artigos científicos sobre estes assuntos e temos formado alunos de mestrado e doutorado atuantes nestas áreas de pesquisa. Temos incentivado o intercâmbio de idéias e colaboração internacional organizando workshops em Equações Diferenciais Parciais, (oito até agora) e uma série de simpósios, além de eventos internacionais realizados em Lima - Perú. 

 Entre os resultados obtidos ressaltamos os problemas relacionados à dissipação localizada, ou seja, um agente dissipativo atuando em uma parte do sistema, de preferência, em uma região arbitrariamente pequena do mesmo, acarretando o menor desgaste possível, particularmente aqueles que envolvem uma combinação de dois tipos de efeitos dissipativos como  memória e fricção  e resultados recentes com dissipação localizada e arbitrariamente pequena para problemas de evolução em variedades Riemannianas.

 II. Pesquisadores do Projeto: Adalberto Panobianco Bergamasco (USP-SC); Alexandre N. de Carvalho (USP-SC); Antônio Luiz Pereira (USP); Carlos Tomei (PUC-RJ); Djairo Guedes de Figueiredo (UNICAMP); Eduardo Teixeira (UFC); Elves Barros e Silva (UnB); Felipe Linares (IMPA); Fernando Cardoso  (UFPE); Gerson Petronilho  (UFSCar); Gustavo Perla Menzala  (LNCC); Helena Nussenzveig Lopes (UNICAMP); Hermano Frid (IMPA); Hildebrando M. Rodrigues (USP-SC); Jaime Angulo (USP);  João Marcos do Ó (UFPB); Jorge Guillermo Hounie  (UFSCar); José Luiz Boldrini (UNICAMP); Jose Valdo Goncalves (UnB); Marcelo Martins dos Santos (UNICAMP); Marcelo Montenegro (UNICAMP); Márcia Scialom (UNICAMP); Maria do Carmo Carbinato (USP-SC); Milton da Costa Lopes Filho (UNICAMP); Olimpio Miyagaki (UFV); Orlando Lopes (USP); Paulo Domingos Cordaro  (IME/USP); Rafael Iório (IMPA); Ricardo Rosa (UFRJ).

Colaboradores Estrangeiros:  Reinhard Racke (Alemanha); Maurizio Graselli (Italia); Maria Grazia Naso (Italia); Mauro Fabrizio (Italia); Vittotrio Pata (Italia); Ramon Quintanilla (España); Fatiha Alabau Boussouira (França); Zhuangyi Liu (USA); Y. Shibata (Japão); M. Nakao (Japão); Shuishi Kawashima (Japão); Irena Lasiecka (USA); Roberto Triggiani (USA); Vilmos Komornik (France); Paola Loreti (Italy); Aissa Guesmia (France); Bernadette Miara (France)

Mohammad Ramaha (USA); Jorge Avalos (USA); Patrick Martinez (France); Salim Messaoudi (Saudi Arabia).

Colaboradores Nacionais: Marcelo Cavalcanti (UEM); Valéria Domingos Cavalcanti (UEM)

 

 V. Principais eventos no país – já existentes

  • “Escola Brasileira de Equações Diferenciais” , evento em formato de escola, bienal itinerante, que terá sua terceira edição em 2009 .
  • “Nonlinear PDE's @ IMPA”. Este workshop está planejado para ser bienal. O primeiro desta série se realizou em Agosto de 2008.  Enfase nas áreas das equações dispersivas não lineares e leis de conservação. 
  • “Workshop in Nonlinear PDE”, um evento itinerante, correntemente em sua sétima edição. Este é  um evento internacional bienal, feito e sediado em parceria, entre Brasil e Itália. Enfase em equações elipticas.
  • “Summer meeting on differential equations”, sediado no ICMC-USP, este é um evento que ocorre anualmente.
  • “Workshop em EDP e Fluidos”, evento bianual itinerante.
  • “Workshop em Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas”, que vem sendo realizado a cada ano ímpar, desde 1995. A partir de 2001 este evento ocorre em Serra Negra, São Paulo, na primeira semana do mês de agosto.
  • “Workshop on Partial Differential Equations”, evento annual organizado pelo LNCC
  • “Symposium on Partial Differential Equations”, evento bienal organizado na UEM.
  • “Symposium on Scattering and Spectral Theory”, a segunda edição ocorreu em 2008, organizado na UFPE. 

1)       Intercâmbio Científico – mobilidade:

Este item prevê o financiamento de mobilidade entre instituições brasileiras, de visitas de média e longa duração de pesquisadores estrangeiros e de participações de pesquisadores brasileiros em eventos científicos no exterior.

 2)       Organização de Eventos:

2009 – III Escola Brasileira de Equações Diferenciais,  Summer meeting on differential equations, Workshop em Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas, Workshop on Partial Differential Equations (LNCC),  Symposium on Partial Differential Equations (UEM).

2010 –  Nonlinear PDE's @ IMPA, Workshop in Nonlinear PDE, Summer meeting on differential equations, Workshop em EDP e Fluidos, Workshop on Partial Differential Equations (LNCC), Symposium on Scattering and Spectral Theory.

2011 –  IV Escola Brasileira de Equações Diferenciais,  Summer meeting on differential equations, Workshop em Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas, Workshop on Partial Differential Equations (LNCC),  Symposium on Partial Differential Equations (UEM). 

Para além destes eventos já em existência, solicitamos recursos adicionais para a organização de dois eventos de média duração – cerca de três meses – nos moldes de semestres temáticos promovidos pelo MSRI (UCBerkeley), IMA (Univ Minnesota), IPAM (UCLA), CIB (EPFL – Suiça), Mittag-Leffler e pelo Fields Institute. A instituição sede, os organizadores e o tema devem ser escolhidos por meio de propostas competitivas.