*RAINDROP*

FÍSICA-MATEMÁTICA

2009 - Física-Matemática

2009 - Geometria Simplética 

2010 - Geometria Simplética

 Geometria Simplética e Física-Matemática

Em anos recentes, a colaboração entre a física teórica e a matemática tem sido extremamente frutífera, em ambas as direções. Vários resultados profundos em física matemática (e.g. em teoria de cordas topológicas, teoria de gauge super-simétrica) e geometria (e.g. em topologia simplética, geometria de Poisson, geometria algébrica enumerativa) foram obtidos como resultado deste esforço comum. Descrevemos aqui, brevemente, alguns pontos dessa colaboração, que evidencia o potencial de interação entre as pesquisas em geometria simplética e teoria de cordas descritas nesse projeto.

A geometria simplética, além de oferecer o aparato geométrico para a descrição da mecânica hamiltoniana clássica, possui papel fundamental na física teórica moderna, em especial na teoria de cordas. De fato, variedades de Calabi-Yau (tipos especiais de variedades KÄahler) emergiram como a geometria relevante para a teoria de cordas, em particular na teoria topológica de Witten [12]; neste contexto, o chamado modelo A depende essencialmente da geometria simplética da variedade de Calabi-Yau. Uma importante dualidade descoberta por físicos, conhecida como simetria-espelho, revela uma intima relação entre as geometrias simplética e complexa de certos pares de variedades Calabi-Yau. A formulação desta dualidade devida a Kontsevich [8] se expressa, de forma mais precisa, através da equivalência entre a categoria de Fukaya de subvariedades Lagrangianas (com a homologia de Floer descrevendo mor¯smos) no lado simplético, e a categoria derivada de feixes coerente no lado complexo. Vários dos invariantes recentemente descobertos em topologia simplètica e dinâmica hamiltoniana, como os invariantes de Gromov-Witten, possuem papel de destaque nessa teoria. A teoria de cordas tem tambem forte ligação com a geometria de Poisson, tanto do ponto de vista clássico [3], como na prova da conjectura da formalidade de Kontsevich [9], veja [2].

 A geometria complexa generalizada [4, 5], descrita no projeto de geometria simplética, única as geometrias complexa e simplética, e tem recebido grande atenção dos físicos por ser útil na formulação e estudo de dualidades em teoria de cordas, ver e.g. [1]. Outras aplicações importantes das estruturas complexas generalizadas em física-matemática incluem teoria de cordas topológicas [10, 11], a geometria de modelos sigma com °uxo [6], modelos sigma super-simétricos (e.g. [13]), a descrição geométrica de \branes" em teoria de cordas [7], entre outros.

 Teoria das Supercordas

Nathan Berkovits – Instituto de Física Teórica (IFT-UNESP)

A obtenção de uma descrição unificada de todas as forças fundamentais na natureza é um sonho antigo dos físicos teóricos. Presentemente, a teoria de supercordas é o único modelo quanto-mecânico consistente para se descrever partículas com interações gravitacionais e Yang-Mills. Todas as outras tentativas de se unificar essas forças sofrem de divergências quanto-mecânicas nas amplitudes de espalhamento que não podem ser removidas através de renormalização. Mesmo que a teoria de supercordas não seja a teoria de unificação final, provavelmente contém alguns dos ingredientes essenciais de tal teoria. Ela também tem propriedades como dualidade, simetria-espelho, branas, etc. que têm aplicações para diversas áreas de matemática e física.

Um ingrediente das supercordas que é crucial para a ausência de divergências é a super-simetria de espaço-tempo. Entretanto, no formalismo usual de supercordas de Ramond-Neveu-Schwarz (RNS), os efeitos de supersimetria de espaço-tempo são extremamente difíceis de se analisar. Embora exista o formalismo alternativo de Green-Schwarz (GS) para a supercorda onde a supersimetria de espaço-tempo é manifesta, o formalismo Green-Schwarz pode ser quantizado somente no gauge do cone-de-luz, o que reduz tremendamente a sua utilidade.

Durante os últimos quinze anos, a pesquisa de nosso grupo tem se centrado no entendimento do papel da supersimetria de espaço-tempo na supercorda. Esta pesquisa nos levou a descobrir um novo formalismo de supercordas onde a supersimetria de espaço-tempo é manifesta e que pode ser quantizado em gauges covariantes [1][2]. Porque não sofre dos problemas dos formalismos RNS e GS, este novo formalismo é útil para estudar a ausência de divergências e outras propriedades da supercorda, por exemplo, como ela propaga num background Ramond-Ramond. Algumas linhas de pesquisa associadas ao este novo formalismo incluem amplitudes de espalhamento, teoria de campos da supercorda, backgrounds Ramond-Ramond, e quantização covariante da supermembrana:

Tópicos de Pesquisa

- Amplitudes de espalhamento

Usando os formalismos RNS ou GS, é muito complicado calcular amplitudes de espalhamento quando o número de cordas externas e o número de loops não sejam pequenos.

Recentemente, foi mostrado como calcular amplitudes multiloop [3][4]. Al´em de simplificar a prova da finitude perturbativa da supercorda, foi possível provar uma conjetura de dualidade sobre a aparência de termos R^4 na açãao efetiva IIB [5]. Também foi calculada a amplitude de dois loops em super-espaço [6][7] [8], que anteriormente somente foi calculada para particulas externas bosônicas. No futuro próximo, provavelmente vai ser possível calcular amplitudes com mais loops e provar conjeturas de dualidade envolvendo derivadas mais altas dos termos R^4.

- Teoria de campos da supercorda

Usando intuição [9] vindo do novo formalismo, uma ação da teoria de campos da supercorda aberta foi construida [10] que não sofre dos problemas das ações anteriores.

Esta ação foi usada para testar a conjetura de Sen sobre o decaimento no nível clássico do táquion [11], e seria interessante extender este análise para o decaimento no nível quântico. Também foi construida a ação de teoria de campos para o setor Neveu-Schwarz da supercorda heterótica [12] e provavelmente vai ser possível usar esta ação para estudar o decaimento do táquion heterótico. Seria interessante incluir o setor Ramond na ação heterótica, talvez usando super-espaço N=1 d=4 como no formalismo híbrido.

- Backgrounds Ramond-Ramond

Quantização da supercorda em backgrounds Ramond-Ramond é importante para o estudo de geometria não-anticommutativa [13][14][15][16] e para testar a conjetura de Maldacena [17]. Porque não é possível descrever backgrounds Ramond-Ramond usando o formalismo RNS, o novo formalismo é o único que consegue descrever estes backgrounds numa maneira covariante [18][19][20]. Recentemente foi mostrado que o background AdS_5xS5 é consistente no nível quântico [21], e junto com Juan Maldacena, foi mostrado que o background AdS_5xS^5   tem simetrias adicionais que são relacionadas com integrabilidade [22]. Atualmente estamos estudando com Cumrun Vafa este background no limíte de curvatura grande que é relacionada com super-Yang-Mills N=4 d=4 perturbativa [23][24][25].

Talvez vai ser possível relacionar esta supercorda com a twistor-corda construida junto com Edward Witten que também descreve super-Yang-Mills N=4 d=4 [26] [27][28].

- Quantização covariante da supermembrana

Embora quantização covariante em dez dimensões é suficiente para estudar propriedades perturbativas da teoria das supercordas, se precisa entender melhor a supermembrana em onze dimensões para poder estudar propriedades não-perturbativas da supercorda. O estudo da supermembrana usando o novo formalismo com espinores puros foi começado em [29]. Foi possível quantizar covariantemente a superpartícula em d=11 que descreve supergravitação em d=11, e estamos tentando agora usar esta quantização para covariantizar o formalismo chamado “M(atrix) theory”. Um passo foi feito com Nikita Nekrasov onde calculamos o caráter de spinores puros em d=10 e d= 11 [30] [31]. Também foi mostrado com Paul Howe que a estrutura de super-espaço em d=11 naturalmente envolve spinores puros [32].

Colaboradores Nacionais: Nathan Berkovits, IFT-UNESP, Coordenador; Dafni Marchioro e Daniel Nedel, Univ. Federal do Pampa, Rio Grande do Sul; Ricardo Medina e Vladimir Pershin, Univ. Fed. de Itajuba, Minas Gerais; Brenno Vallilo e Osvaldo Chand´ıa, Univ. de Santiago, Chile; Carlos Mafra, Yuri Aisaka, Ever Aldo Arroyo, Geova Maciel, Oscar Delgado, Humberto Gomez Zuniga, IFT-UNESP.

Colaboradores Estrangeiros: Edward Witten, IAS-Princeton (Fields Medal 1990); Juan Maldacena, IAS-Princeton; Cumrun Vafa, Harvard Univ.; Barton Zwiebach, MIT; Nikita Nekrasov, IHES.

Plano de Atividades

Durante os próximos três anos, pretendemos organizar workshops e escolas relacionados com o assunto de supercordas e física matemática. Em 2006, foi organizado um workshop no IFT-UNESP sobre o assunto de spinores puros na teoria de supercordas e pretendemos repetir este workshop no ano de 2010. (No ano de 2009, vai ter um workshop sobre este assunto no KITP em Santa Barbara.) Em 2007, foi organizado uma escola no IFT-UNESP com aulas do Gerard ‘t Hooft (prêmio Nobel em física de 1999) e a participação de 20 alunos de doutorado de Holanda. Nos próximos anos, pretendemos repetir este tipo de escola com aulas de Edward Witten e/ou Cumrun Vafa.

No ano de 2008, também foi organizado um minicurso de um mes ministrado por Matthias Staudacher (Potsdam) e Vladimir Kazakov (Paris) sobre o assunto de integrabilidade. Vários pesquidaores do estado de São Paulo participaram neste minicurso e pretendemos repetir estes minicursos nos próximos anos com convidados estrangeiros como Juan Maldacena (IAS-Princeton) e Nikita Nekrasov (IHES).

Formação de Novos Pesquisadores

Atualmente temos no grupo de supercordas no IFT-UNESP 4 alunos de doutorado, 3 alunos de mestrado, 1 aluno de iniciação científica, e 2 recêm doutores. Todos estes alunos vão formar dentro dos próximos três anos e pretendemos iniciar outras orientações. Também tem vários alunos da USP e de outras universidades de São Paulo que participam ativamente nos journal clubs e minicursos oferecidos no IFT-UNESP. Centros em desenvolvimento que recentemente contrataram dois pesquisadores na área de supercordas incluem as Universidades Federais de Pampa (Rio Grande do Sul) e Itajuba (MinasGerais).

Referências

  1. N. Berkovits, “Covariant Quantization of the Green-Schwarz Superstring in a Calabi-Yau Background”, Nucl. Phys. B431 (1994) 258, hep-th/9404162.
  2. N. Berkovits, “Super-Poincar´e Covariant Quantization of the Superstring”, Journal of High Energy Physics 0004 (2000) 018, hep-th/0001035.
  3. N. Berkovits, “Multiloop Amplitudes and Vanishing Theorems using the Pure Spinor Formalism for the Superstring”, JHEP 0409 (2004) 047, hep-th/0406055.
  4. N. Berkovits e N. Nekrasov, “Multiloop Superstring Amplitudes from Non-Minimal Pure Spinor Formalism”, JHEP 0612 (2006) 029, hep-th/0609012.
  5. N. Berkovits, “New Higher-Derivative R^4 Theorems”, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 211601, hep-th/0609006.
  6. N. Berkovits, “Super-Poincare Covariant Two-Loop Superstring Amplitudes”, JHEP 0601 (2006) 005, hep-th/0503197.
  7. N. Berkovits e C. Mafra, “Equivalence of Two-Loop Superstring Amplitudes in the Pure Spinor and RNS Formalisms”, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 011602, hep-th/0509234.
  8. N. Berkovits e C. Mafra, “Some Superstring Amplitude Computations with the Non-Minimal Pure Spinor Formalism”, JHEP 0611 (2006) 079, hep-th/0607187.
  9. N. Berkovits e C. Vafa, “N=4 Topological Strings”, Nucl. Phys. B433 (1995) 123, hep-th/9407190.
  10. N. Berkovits, “Super-Poincare Invariant Superstring Field Theory”, Nucl. Phys. B450 (1995) 90, hep-th/9503099.
  11. N. Berkovits, A. Sen, B. Zwiebach, “Tachyon Condensation in Superstring Field Theory”, Nucl. Phys. B587 (2000) 147, hep-th/0002211.
  12. N. Berkovits, Y. Okawa, B. Zwiebach, “WZW-like Action for Heterotic String Field Theory”, JHEP 0411 (2004) 038, hep-th/0409018.
  13. H. Ooguri e C. Vafa, “The C-Deformation of gluino and non-planar diagrams”, Adv.Theor. Math. Phys. 7 (2003) 53, hep-th/0302109.
  14. N. Seiberg, “Noncommutative superspace, N=1/2 supersymmetry, field theory and string theory”, JHEP 0306 (2003) 010, hep-th/0305248.
  15. N. Berkovits e N. Seiberg, “Superstrings in Graviphoton Background and N=1/2+3/2 Supersymmetry”, JHEP 0307 (2003) 010, hep-th/0306226.
  16. N. Berkovits, H. Ooguri, C. Vafa, “On the Worldsheet Derivation of Large N Dualities for the Superstring”, Commun. Math. Phys. 252 (2004) 259, hep-th/0310118.
  17. J. Maldacena, “The large N limit of superconformal field theories and supergravity”, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231, hep-th/9711200.
  18. N. Berkovits, C. Vafa e E. Witten, “Conformal Field Theory of AdS Background with Ramond-Ramond Flux”, JHEP 9903 (1999) 018, hep-th/9902098.
  19. N. Berkovits, M. Bershadsky, T. Hauer, S. Zhukov e B. Zwiebach, “Superstring Theory on AdS2×S2 as a Coset Supermanifold”, Nucl. Phys. B567 (2000) 61, hep-th/9907200.
  20. N. Berkovits, J. Maldacena, “N=2 Superconformal Description of Superstring in Ramond-Ramond Plane Wave Backgrounds”, JHEP 0210 (2002) 059, hep-th/0208092.
  21. N. Berkovits, “Quantum Consistency of the Superstring in AdS5xS5  Background”, hep-th/0411170.
  22. N. Berkovits e J. Maldacena, “Fermionic T-Duality, Dual Superconformal Symmetry, and the Amplitude/Wilson Loop Connection”, hep-th/0807.3196.
  23. N. Berkovits, “A New Limit of the AdS_5xS^5 Sigma Model”, JHEP 0708 (2007) 011, hep-th/0703282.
  24. N. Berkovits e C. Vafa, “Towards a Worldsheet Derivation of the Maldacena Conjecture”, JHEP 0803 (2008) 031, hep-th/0711.1799.
  25. N. Berkovits, “Perturbative Super-Yang-Mills from the Topological AdS_5xS^5 Sigma Model”, hep-th/0806.1960.
  26. E. Witten, “Perturbative gauge theory as a string theory in twistor space”, Commun. Math. Phys. 252 (2004) 189
  27. N. Berkovits, “An Alternative String Theory in Twistor Space for N=4 Super-Yang- Mills”, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 011601, hep-th/0402045.
  28. N. Berkovits e E. Witten, “Conformal Supergravity in Twistor-String Theory”, JHEP 0408 (2004) 009, hep-th/0406051.
  29. N. Berkovits, “Towards Covariant Quantization of the Supermembrane”, JHEP 0209 (2002) 051, hep-th/0201151.
  30. N. Berkovits e N. Nekrasov, “The Character of Pure Spinors”, Lett. Math. Phys. 74 (2005) 75, hep-th/0503075.
  31. Y. Aisaka, E.A. Arroyo, N. Berkovits e N. Nekrasov, “Pure Spinor Partition Function and the Massive Superstring Spectrum”, a aparecer em JHEP, hep-th/0806.0584.
  32. N. Berkovits e P. Howe, “The cohomology of superspace, pure spinors and invariant integrals”, a aparecer em JHEP, hep-th/0803.3024.

 Geometria Simplética

Bursztyn (IMPA), Leonardo Macarini (UFRJ)

 Introdução

Geometria simplética é uma área clássica da geometria diferencial, com raízes na formulação geométrica da mecânica hamiltoniana do século XIX. Seus avanços recentes, contudo, têm tido papel central no desenvolvimento de outras áreas da física e da matemática, incluindo dinâmica, topologia e geometria algébrica. O projeto aqui delineado descreve as principais linhas de pesquisa em geometria simplética no Brasil, incluindo avanços recentes e novas propostas, assim como suas interações com outros grupos de pesquisa nacionais bem estabelecidos, incluindo sistemas dinâmicos e teoria ergódica, e geometria diferencial.

 1.1. Pesquisadores.

Henrique Bursztyn (IMPA), Leonardo Macarini (UFRJ),

 2. Linhas e projetos de Pesquisa

2.1. Dinâmica de sistemas Hamiltonianos. Desde os trabalhos seminais de M.

Gromov e A. Floer, estabelecendo técnicas analíticas profundas para entender propriedades de rigidez em Geometria Simplética, avanços fundamentais vem sido obtidos nesta área. Muitos desses avanços têm revelado uma ainda não bem entendida relação entre invariantes simpléticos e a dinmica de sistemas Hamiltonianos.

O propósito central da linha de pesquisa de L. Macarini é o estudo dessa relação.

Há também um especial interesse no estudo de sistemas dinâmicos advindos da área de geometria diferencial. Mais precisamente, os seguintes tópicos têm sido estudados:

2.1.1. Hiperfícies simpléticamente equivalentes a hiperfícies convexas em fibrados cotagentes. Em [16] mostramos que hiperfícies simpléticamente não-convexas formam um conjunto bastante grande (do ponto de vista topológico) comparado µaquele dado por hiperfícies simpléticamente equivalentes a hiperfícies em fibrados cotangentes convexas em cada fibra. A prova utiliza o índice de Maslov de órbitas periódicas e um argumento de semi-continuidade inferior da dimensão dos grupos de homologia simplética filltrada.

2.1.2. Aplicações de homologia de Floer na dinâmica de fluxos de Reeb. Utilizamos em [15] homologia de Floer para dar estimativas inferiores da entropia topológica de fluxos de Reeb em hiperfícies starshaped em fibrados cotangentes sobre variedades racionalmente hiperbólicas.

 2.1.3. Homologia de contato de estruturas de contato toricas. Em [1], damos exemplos de infinitas estruturas de contato teóricas em S2 £ S3 com distintas homologias de contato. In particular, tais estruturas de contato não são equivalentes. Construímos também generalizações em dimensão maior.

2.1.4. Capacidade de Hofer-Zehnder. Nos trabalhos [12, 14] obtemos uma classe ampla de variedades simpléticas com capacidade de Hofer-Zehnder finita. Objetivamos entender melhor as obstruções para a finitude destes invariantes.

2.1.5. Fluxo de Ricci para fluxos eletromagnéticos. Fluxos eletromagnéticos são generalizaçes naturais de fluxos geodésicos em geometria diferencial. Em [11] construimos uma deformação de fluxos eletromagnéticos por meio do fluxo de Ricci aplicado µa métrica de Kaluza-Klein warped associada. Estudamos então a variação de certos invariantes dinâmicos, como a entropia topológica.

2.2. Geometria simplética equivariante e geometria de Poisson. Um tema central em geometria simplética é o estudo de simetrias, ou ações Hamiltonianas. Em sua versão moderna, tal teoria teve início nos trabalhos de Kostant, Soriau e Smale nas décadas de 1960-70, e tem sido fundamental no desenvolvimento da geometria simplética desde então. Grande parte da pesquisa recente de Bursztyn é focada em ações Hamiltonianas, e nas estruturas geométricas que surgem em suas generalizações recentes.

2.2.1. Geometria de Poisson. Estruturas de Poisson generalizam estruturas simpléticas, e aparecem naturalmente no estudo de simetrias. Um tema importante é o estudo de noções apropriadas de equivalência e dualidade de variedades de Poisson, em especial da noção de equivalência de Morita, advinda da geometria não-comutativa.

Nesta linha seguem os trabalhos [6, 8], além de [7] para quantizações por deformação.

2.2.2. Ações Hamiltonianas e aplicações momento. Interações entre a geometria simplética e novas áreas da matemática e física (e.g. grupos quânticos, topologia e teoria de calibre) estimularam o surgimento de novas versões de ações Hamiltonianas e aplicações momento a partir de 1990. Os últimos anos presenciaram o estudo da geometria destes novos objetos, visando achar uma descrição que os unifique. Os trabalhos [2, 4] ilustram, e abrem novas frentes, nesta direção.

2.2.3. Geometria complexa generalizada e supergeometria. Estruturas complexas generalizadas (introduzidas por Hitchin, em 2003) unificam as geometrias simplética e complexa. É uma nova área da geometria com intensa atividade de pesquisa, em especial por suas conexões com a física (e.g. no estudo de supersimetria). O trabalho [5] estuda simetrias e aplicações momento em geomeria complexa generalizada, produzindo novas construções e exemplos; em [3], tais construções são entendidas e generalizadas sob a ótica da supergeometria, que fornece ferramentas ainda inexploradas.

 3. Atividades e colaborações

3.1. Eventos no Brasil. Os eventos científicos em geometria simpléticas no Brasil planejados para os próximos dois anos incluem:

  • Workshop on conservative dynamics and symplectic geometry, IMPA, 2009. Trata-se da terceira edição do evento, que tem ocorrido a cada dois anos desde 2005.
  • Poisson 2010: Poisson geometry in mathematics and physics. Encontro bianual em geometria de Poisson (ver http://poissongeometry.org/ para eventos anteriores).

Outras atividades recentes incluem o minicurso Introdução a Geometria Simplética, ministrado na XIV Escola de Geometria Diferencial na Bahia, em 2006, ver [9].

3.2. Projetos e colaboradores. Os projetos aqui descritos contam com outros colaboradores nacionais, incluindo Umberto Hryniewicz (UFRJ), Marcos Jardim (Unicamp), Clodoaldo Ragazzo (USP) e Pedro Salomão (USP), além de alunos de doutorado que estarão formados num futuro proximo, posdocs nacionais e estrangeiros, e uma ampla rede de colaboradores internacionais:

Colaboradores estrangeiros: M. Abreu e R. L. Fernandes (IST-Lisboa), G. Contreras (CIMAT-Mexico), G. Paternain (U. Cambridge), F. Schlenk (U. Neuchatel-Sui»ca), A.Weinstein (U. C. Berkeley), E. Meinrenken e M. Gualtieri (U. Toronto), G. Cavalcanti e M. Crainic (U. Utrecht), A. Alekseev (U.  Genebra), A. Cattaneo (U. Zurich), S. Waldmann (U. Freiburg), entre outros.

Projetos de cooperação internacional: Projeto Grices-Capes (2008-2010) para colaboração em geometria simplética entre Brasil e Portugal Coordenadores: H. Bursztyn e L. Macarini (Brasil), M. Abeu and R. L. Fernandes (Portugal).

Posdoutorandos: Rajan Mehta (IMPA-CNPq, 2006-2007), Dan Jane (IMPA-CNPq, início em 2008), Alejandro Cabrera (IMPA-CNPq, início em 2008), Antonio Ricco (IMPA-Faperj, início em 2008).

Alunos em doutoramento: Felipe de Medeiros (UFRJ, início 2008), Cristian Ortiz e Thiago Drummond (IMPA, conclusão prevista para 2009).

 Publicações recentes e trabalhos em preparação

  1. M. Abreu, L. Macarini, Contact homology of contact toric manifolds, em preparação.
  2.  A. Alekseev, H. Bursztyn, E. Meinrenken, Pure spinors on Lie groups, aceito em Asterisque. ArXiv:0709.1452
  3. H. Bursztyn, A. Cattaneo, R. Mehta, M. Zambon, Generalized reduction and supergeometry, em preparação.
  4. H. Bursztyn, M. Crainic, Dirac geometry, quasi-Poisson actions and D/G-valued moment maps. ArXiv:0710.0639.
  5. H. Bursztyn, G. Cavalcanti, M. Gualtieri, Reduction of Courant algebroids and generalized complex structures. Advances in Math. 211 (2007), 726{765.
  6. H. Bursztyn, R. L. Fernandes, Picard groups of certain Poisson manifolds, em preparação
  7. H. Bursztyn, V. Dolgushev, S. Waldmann, Kontsevich's classes of Morita equivalent star producs, em preparação
  8. H. Bursztyn, C. Zhu, Morita equivalence of stacky Lie groupoids, em preparação.
  9. H. Bursztyn, L. Macarini, Introdução µa Geometria Simplética, XIV Escola Brasileira de Geometria Diferencial (em homenagem a S.S. Chern), Salvador, Bahia - 17 a 21 de julho de 2006, Universidade Federal da Bahia (UFBA).
  10. G. Contreras, L. Macarini, G. Paternain, Periodic orbits for exact magnetic flows on surfaces, Int. Math. Res. Notices (IMRN), 8 (2004), 361{387.
  11. D. Jane, L. Macarini, Ricci °ow for eletromagnetic flows, em preparação.
  12. L. Macarini, Hofer-Zehnder capacity and Hamiltonian circle actions, Comm. in Contemp. Math., 6 (2004), 913{945.
  13. L. Macarini, G. Paternain, Symplectic homology of magnetic flows over sol-manifolds, em preparação.
  14. L. Macarini, F. Schlenk, A re¯nement of the Hofer{Zehnder theorem on the existence of closed trajectories near a hypersurface, Bull. London Math. Soc., 37 (2005), 297{300.
  15. L. Macarini, F. Schlenk, Positive topological entropy of Reeb °ows on ¯berwise starshaped energy surfaces, submetido para publicação.
  16. L. Macarini, F. Schlenk, Symplectically convex and non-convex hypersurfaces in cotangent bundles, em preparação.