INCTmat

GEOMETRIA DIFERENCIAL

2009

2010

1. Introdução

A Geometria Brasileira, em sua evolução, tem diversificado suas linhas de pesquisa, ampliando o contingente de pesquisadores e apresentado uma produção de qualidade competitiva internacionalmente. Os temas de pesquisa são centrais no que concerne a sua inserção internacional. Percebe-se ainda acentuado crescimento no interesse de temas de pesquisa interdisciplinares envolvendo a Geometria e outras áreas da Matemática, particularmente na fronteira com a Análise e a Física. Em adição às áreas de pesquisa tradicionais, como a Geometria Riemanniana e a Teoria de Subvariedades, tem-se criado novas linhas de pesquisa, em consonância com desenvolvimentos mais modernos da área, incluindo a Geometria semi-Riemanniana, a Geometria sub-Riemanniana, a Geometria Simplética, entre outras. O grupo conta com mais de 100 pesquisadores distribuídos em todas as regiões do país.

A Geometria Brasileira conta com grupos de pesquisa e centros de excelência espalhados por todo o país. Mesmo quando isolados, os pesquisadores da área tem-se mantido ativos, exercendo grande influência local. Constata-se um esforço bem sucedido para formar novos doutores e mestres na área, bem como para direcionar jovens talentos descobertos pelas Olimpíadas para a carreira de pesquisador em Matemática, particularmente em Geometria. No momento, a perspectiva para os próximos três anos contempla a formação de 20 doutores na área. Sob a direção de geômetras, centros tradicionalmente pequenos têm-se projetado na formação de recursos humanos, como é o caso da Universidade Federal de Alagoas, da Universidade Federal do Amazonas e da Universidade Federal do Pará.

2. Equipe de Pesquisadores

O grupo de Geometria Diferencial tem pesquisadores atuando em várias regiões do país, com representantes em praticamente todos os grandes centros acadêmicos brasileiros. Além disso, representantes da área participam nos Comitês Científicos de agências de fomento nacionais e estaduais.

Pesquisadores Nacionais

Alcebiades Rigas, UNICAMP; Caio José Colletti Negreiros, UNICAMP; Claudio Gorodski, USP; Detang Zhou, UFF; Fabiano Brito, UNIRIO; Fernando Codá Marques, IMPA; Francesco Mercuri, UNICAMP; Harold Rosenberg, IMPA; Henrique Bursztyn, IMPA; Hilário Alencar, UFAL; Jaime Ripoll, UFRGS; João Lucas Barbosa, UFC; José Miguel Martins Veloso, UFPA; Keti Tenenblat, UnB; Levi Lopes de Lima, UFC; Luis Florit, IMPA; Luiz Antonio Barrera San Martin, UNICAMP, Marcos Dacjzer, IMPA; Manfredo Perdigão do Carmo, IMPA; Maria Luiza Leite, UFPE; Paolo Piccione, USP; Rafael Oswaldo Ruggiero, PUC-RIO; Renato de Azevedo Tribuzy, UFAM; Ricardo Sá Earp, PUC-RIO; Ruy Tojeiro, UFSCar; Walcy Santos, UFRJ.

Colaboradores Nacionais

Ana Lucia Pinheiro Lima (UFBA), Abdênago Alves de Barros (UFC), Antônio Gervasio Colares (UFC), Antonio Moraes Vilhena (UFPA), Armando V. Corro (UFG), Carlos Duran (UNICAMP), Daniel V. Tausk (USP), Enaldo Silva Vergasta (UFBA), Edson de Figueiredo (UFSM); Evandro Carlos Ferreira dos Santos (UFBA), Ézio de Araújo Costa (UFBA), Fabio Montenegro (UFC), Fidelis Bittencourt (UFS); Isaac Costa Lázaro, UFBA; Giovanni da Silva Nunes (UFPEL), Gregorio Pacelli Bessa (UFC); Jorge Herbert S. de Lira (UFC), José Nelson Bastos Barbosa (UFBA), Marcelo Souza (UFG); Marco Antônio Nogueira Fernandes (UFBA), Marcos Alexandrino (USP), Marcos Monteiro Diniz (UFPA), Marcos Petrucio Cavalcante (UFAL), Maria Fernanda Elbert Guimarães (UFRJ); Max V. Lemes da (UFG), Nedir do Espirito Santo (UFRJ); Paulo Régis Caron Ruffino (UNICAMP), Pedro Fusieger Arì Aiolfi (UFSM); Pedro José Catuogno (UNICAMP), Pedro Roitman (UnB); Rita de Cássia de Jesus Silva (UFBA); Romildo Pina (UFG), Wang Qiaoling (UnB); Xia Changyu (UnB); Xu Cheng (UFF)., Walterson P. Ferreira (UFG).

Principais Colaboradores Estrangeiros

Albert Fathi, École Normale Supérieure de Lyon; Alice Chang, Princeton University; Antonio Ros, Universidad de Granada; Elisha Falbel, Paris VII; Eric Toubiana, Univ. Paris VII; Etienne Ghys, École Normale Supérieure de Lyon; Frank Pacard, Univesité Paris XII; Gabriel Paternain, Cambridge; Gang Tian, Princeton University; Gudlaugur Thorbergsson, Universität zu Köln; Huai-Dong Cao, Lehigh University; Joel Spruck., Johns Hopkins University; Jost Eschenburg, University of Augsburg; Katsuei Kenmotsu, Tohoku University; Luis Alías Linares, Univ. Murcia, Espanha; Manoel Ritoré, Universidad de Granada; Paolo de Bartolomeis, Univ. Firenze; Peter Li, University of California at Irvine; Peter Olver, University of Minnesota; Pierre Bérard, Univ. de Grenoble; Richard Schoen, Stanford University; Simon Brendle, Stanford University; Uwe Abresch, Ruhr-Universität Bochum; Vieri Benci, Universita di Pisa; Viktor Bangert, Freiburg Universitat; Wolfgand Ziller, University of Pennsylvania.

3. Linhas de Pesquisa: Projetos e Objetivos

Exporemos em seguida os principais tópicos de pesquisa atualmente estudados por pesquisadores da área de Geometria Diferencial, com uma breve descrição dos principais problemas abordados.

Geometria Diferencial em Espaços Homogêneos, Grupos e Semigrupos de Lie, Aplicações Harmônicas, Geometria Estocástica. Estuda-se geometria diferencial em espaços homogêneos com ênfase nas variedades bandeiras. Alguns aspectos abordados são: geometria hermitiana, aplicações harmônicas, métricas de Einstein e Kahler-Einstein. A abordagem é via teoria de Lie, sendo que no estudo das aplicações harmônicas (e suas variantes, tais como os morfismos harmônicos) são empregados métodos de geometria estocástica. Em outra direção, mais distante da geometria diferencial, mas dentro da teoria de Lie, estudam-se propriedades estruturais de grupos e semi-grupos de Lie. Nesse caso, tendo em vista aplicações a sistemas dinâmicos que evoluem em espaços homogêneos ou fibrados.

Geometria das Subvariedades. Interesse no estudo das subvariedades concentra-se em três tópicos: hipersuperfícies de Dupin; transformações de subvariedades; invariantes simpléticos locais.

Um dos problemas centrais no estudo de hipersuperfícies de Dupin é a classificação de tais subvariedades. Pretendemos estudar essas hipersuperfícies parametrizadas por linhas de curvatura usando os invariantes de Laplace, que foram introduzidos por Kamran-Tenenblat . Nessas condições estamos lidando com hipersuperfícies que não são Lie equivalentes a isoparamétricas. Recentemente, em Riveros-Rodrigues-Tenenblat consideramos o caso em que os invariantes de Laplace das hipersuperfícies do espaço euclidiano são todos nulos. Esse caso corresponde às hipersuperfícies de Dupin de curvatura de Moebius constante. Pretendemos aprofundar o estudo das hipersuperfícies de Dupin usando os invariantes de Laplace, agora sem impor a condição de todos serem nulos.

Geometria Intrínseca. Consideramos os seguintes problemas: dado um tensor simétrico T de ordem dois, definido em uma variedade Mⁿ_,existe uma métrica Riemanniana g tal que Ric g = T ? Obter condições necessárias e suficientes sobre um tensor simétrico T em uma variedade Mⁿ, tal que exista uma métrica g satisfazendo , onde K é a curvatura escalar de g. Considerando tensores especiais, diversos resultados de caracterização desses problemas foram obtidos por Pina-Tenenblat na classe de métricas conformes à métrica pseudo-euclidiana. Pretendemos aprofundar nossos estudos nessa direção e possivelmente iniciar o estudo para métricas conformes à métrica de R x S^n.. Queremos também verificar como os resultados já obtidos podem ser estendidos para o estudo de métricas quasi-Einstein.

Imersões Isométricas e Conformes. Existem vários trabalhos clássicos e modernos mostrando que subvariedades do espaço euclidiano em codimensão baixa são genericamente localmente rígidas. Por outro lado, não existiam resultados gerais descrevendo subvariedades deformáveis e suas deformações, que não os trabalhos clássicos de Sbrana e Cartan para hipersuperfícies. Recentemente foi obtido um avanço muito importante. De fato foi mostrado que tais subvariedades podem ser descritas como composições em termos de subvariedades regradas em codimensão menor. Além disso, obtive uma estimativa ``sharp" para a dimensão das regras. O objetivo agora é descrever as possíveis deformações isométricas de subvariedades em codimensão baixa. Em particular, gostaríamos de generalizar a teoria desenvolvida por Sbrana e Cartan para codimensão dois.

Em um célebre trabalho de 1969, J. Serrin mostrou a existência e unicidade de soluções do problema de Dirichlet para gráficos de curvatura média constante sobre domínios convexos com respeito a sua curvatura geodésica no espaço Euclideano tridimensional. Nos últimos anos este trabalho foi generalizado em várias direções para distintos espaços ambientes. Recentemente estes trabalhos foram estendidos e generalizados de forma unificada onde os espaços ambientes considerados possuem uma estrutura métrica de warped product que inclui, como casos particulares, os espaços de curvatura seccional constante. Uma característica fundamental é que os warped products considerados nestes dois trabalhos possuem um campo de Killing isométrico ou conforme cujas trajetórias são círculos podendo ser geodésicas. Assim as superfícies e hipersuperfícies estudados são gráficos de Killing ou gráficos geodésicos normais. Os trabalhos sugerem que o problema de Dirichlet para superfícies ou hipersuperfícies que são gráficos sobre domínios convexos com respeito de sua curvatura média deve poder ser resolvido em ambientes que possuem um campo de Killing conforme ou isométrico e mais algumas condições adicionais a determinar, mas que não necessariamente possuem uma estrutura métrica de warped product. De fato um resultado foi obtido recentemente para submersões Riemannianas.

Teoria de Morse e Teoria de Ljusternik-Schnirelman. Os interesses principais estão relacionados às aplicacoes geometricas de teorias variacionais, como a Teoria de Morse ou a Teoria de Ljusternik-Schnirelman. Um dos problemas centrais de minha pesquisa é o estudo de existência e multiplicidade de geodésicas periódicas em variedades munidas de um tensor métrico não definido positivo. Neste caso, o problema variacional é fortemente indefinido, e para determinar multiplicidade de seus pontos críticos faz-se necessário desenvolver técnicas alternativas às tradicionais, que usam de forma crucial a finitude do índice de Morse. A abordagem usando o complexo de Morse—Witten em dimensão infinita é bastante promissora, e pretendo me dedicar ao desenvolvimento da teoria da homologia de Morse em dimensão infinita.

Problemas e conjeturas. Dada uma variedade Lorentziana compacta, ou globalmente hiperbólica com superfície de Cauchy compacta, estabelecer condições para existência de geodésicas fechadas, ou geodésicas satisfazendo condições de bordo mais gerais. Sob quais condições existem infinitas geodésicas? Em quais classes de variedades pode ser utilizada com sucesso a homologia de Morse em dimensão infinita para o problema geodésico? Determinar fórmulas de iteração para o fluxo espectral da forma do índice e estabelecer um Lema de Morse degenerado em caso de problemas variacionais fortemente indefinidos.

Imersões Isométricas e Afins. Recentemente demonstrou-se um resultado de existência para imersões isométricas, ou mais geralmente afins, entre variedades munidas de uma G-estrutura, que generaliza o clássico teorema de Bonnet para a existência de imersões isométricas de variedades Riemannianas em formas espaciais. Este resultado vale no caso de G-estruturas infinitesimalmente homogêneas, ou seja, tais que o tensor de curvatura, o tensor de torção e o tensor de inner torsion sejam constantes em referenciais da G-estrutura. Este resultado abre caminho para problemas interessantes, o principal dos quais é tentar classificar, para G subgrupo de Lie de GL(n) fixado, quais são as variedades que admitem G-estruturas infinitesimalmente homogêneas. Várias outras aplicações do teorema estão sendo desenvolvidas por alunos de doutorado no contexto de imersões mínimas, imersões em variedades semi-Riemannianas e sub-Riemannianas.

Rigidez das Variedades Riemannianas e suas Aplicações em Hipersuperfícies Mínimas. As variedades Riemannianas com espectro positivo foram estudadas recentemente por Peter Li, Jiaping Wang e outro matemáticos. Recentemente, Xu Cheng e Detang Zhou descobriram que algumas das ferramentas usadas por eles podem ser desenvolvidas para estudar as hipersuperfícies mínimas com algum tipo de estabilidade. Pretende-se aprofundar pesquisa neste assunto.

Superfícies Mínimas. Jose Antonio Vilhena, em colaboração com geômetras da USP, obteve resultados nesse domínio, como por exemplo: a resolução do problema de Björling para superfícies tipo espaço, com vetor curvatura média zero no espaço de Lorentz-Minkowski L⁴; e a representação integral para superfícies tipo espaço em L⁴ com aplicação de Gauss e curvatura média prescrita. Estamos interessados em obter uma fórmula para calcular a curvatura de curvas holomorfas Γ (superfícies de Riemann) em HC² , onde as curvas Γ são conjuntos de zeros de funções holomorfas de D²em C e a existência teórica de duas superfícies mínimas completas e mergulhadas em R³, com curvatura total infinita: a primeira seria uma superfície S, simplesmente periódica, mergulhada, assintótica ao helicóide e invariante por translação T, tal que S/T tem gênero 2 e dois fins helicoidais e a segunda seria uma superfície mínima completa e mergulhada, de gênero 2 e com curvatura total infinita, cujo fim é do tipo helicoidal.

Aplicações Harmônicas e Variedades Bandeira. Construir e investigar submersões de variedades bandeira, especialmente sobre espaços projetivos complexos. As imersões de variedades bandeira foram inicialmente estudadas por M. Guest, num trabalho que abre o caminho para diversos problemas interessantes, o principal deles sendo induvidavelmente, a classificação das aplicações harmônicas de uma superfície de Riemann em uma variedade bandeira clássica maximal.

Desigualdades Geométricas em Variedades Produto. Formular e estabelecer desigualdades geométricas (em particular, desigualdades isoperimétricas) para hipersuperfícies de curvatura média constante em espaços produto do tipo MxR., utilizando técnicas emprestadas pela análise geométricaa, bem como fórmulas clássicas da geometria integral, do tipo Crofton, Cauchy, Steiner, Kubota, etc.

Hipersuperfícies Mínimas e de Curvatura Média Constante. No estudo de superfícies mínimas e de curvatura média constante numa variedade produto M²xR, será dada ênfase aos seguintes problemas: construir novas superfícies mínimas mergulhadas, utilizando a superfície de Scherk como barreira; obter estimativas para a curvatura de Gauss dessas superfícies; determinar condições para que a superfície de Scherk tenha algum tipo de simetria; estabelecer um teorema do tipo Jenkins-Serrin para superfícies de curvatura média constante não- nula em MxR.

Imersões de Variedades Kählerianas. O programa de trabalho proposto neste projeto consta principalmente do estudo de vários problemas relacionados a imersões de variedades kählerianas em espaços simétricos. O espaço ambiente poderá ter ou não estrutura complexa. Tais problemas envolvem harmonicidade, pluri-harmonicidade, holomorfia, isotropia, estabilidade, rigidez, restrições topológicas e geométricas etc. Denominamos o componente do tipo (1,1) da segunda forma fundamental da imersão de pluri-curvatura média porque ele é determinado pelas curvaturas médias da restrição da imersão às curvas holomorfas. Quando ele é nulo ou paralelo, a imersão tem propriedades similares às superfícies mínimas ou de curvatura média constante em R³. Considero um problema altamente relevante classificar tais imersões. No caso isotrópico, provei em um trabalho conjunto com J.Eschenburg e M.Ferreira que tais variedades são localmente espaços simétricos, produtos riemanianos, holomorfas ou superfícies supermínimas em uma esfera. Além disso, se a co-dimensão é menor que 7 elas são extrinsecamente simétricas. Este problema está relacionado à caracterização de subvariedades kählerianas extrinsecamente simétricas, como por exemplo o mergulho “standard”do CPn em espaços euclideanos. Foi demonstrado que o mergulho “standard” de CP² com a métrica de Fubini – Study, é a única imersão com pluri-curvatura média paralela (ppmc) de uma variedade kähleriana não fatorável com a primeira classe de Chern positiva em R⁸. Este estudo conduz naturalmente a outros problemas como:

1) Estabilidade das imersões pluri-mínimas. Quando o espaço ambiente tem estrutura complexa tais imersões estão em uma situação intermediária entre as mínimas e as holomorfas. Uma vez que todas as subvariedades holomorfas são pluri-mínimas e todas as pluri-mínimas são mínimas, mas as recíprocas só são válidas em casos especiais. Será importante obter condições que caracterizem a estabilidade de tais imersões ou que possibilitem estimar os índices de Morse;

2) O Estudo do modo como a estabilidade da aplicação de Gauss F, com valores no grassmaniano G_m(Rⁿ), de uma imersão ppmc f no Rⁿ, influência as características da imersão. Já mostramos que a geometria de f está estritamente relacionada à geometria de F;

3) O Estudo das submersões riemanianas com fibras (2,0)-geodésicas ou ppmc. As imersões (2,0)-geodésicas de uma variedade de Kähler M em Rⁿ foram classificadas por D. Ferus.

Superfícies Mínimas ou com o Vetor Curvatura Média Paralelo. Em 1951, H. Hopf provou que se uma superfície compacta de gênero zero S é imersa com R³ com curvatura média H constante, então S é isométrica a uma esfera. A prova depende da introdução de uma forma quadrática α que se anula quando H é constante. Seja Eⁿ(c) a variedade riemanniana, n-dimensional, simplesmente conexa, de curvatura constante c. Em 2004, Abresch e Rosenberg introduziram uma forma quadrática Q que se anula para superfícies compactas de gênero zero imersas em E²(c)×R, quando H é constante. As superfícies compactas para as quais Q = 0 são superfícies de rotação em torno do eixo R.

Considere uma superfície imersa em Eⁿ(c)×R com vetor curvatura média paralelo. Para esta situação, prova-se que Q é holomorfa. Utilizando este fato, H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy demonstraram um teorema de redução de codimensão que generaliza, para esta situação, o conhecido Teorema de Yau para superfícies com curvatura média paralela em espaços de curvatura constante. Além disso, mostra-se que, quando a superfície é compacta de gênero zero, a imersão é invariante por certas rotações como no caso de codimensão 1. Entretanto, não se sabe se os resultados são os melhores possíveis. É preciso portanto, construir novos exemplos ou reduzir ainda mais as codimensões. Pretende-se generalizar estes resultados para superfícies imersas em outros espaços simétricos. Isto é, tentaremos encontrar a codimensão essencial de tais imersões e encontrar propriedades especiais no caso em que a superfície é compacta de gênero zero.

H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy mostraram que não é necessário supor H═constante para a validade do resultado de Abresch-Rosenberg para imersões em E²×R. Aliás, basta que a norma │dH│ da diferencial da curvatura média H seja convenientemente limitada. A técnica adotada na prova, permite mostrar que precisa-se da limitação de │dH│ apenas nas vizinhanças dos pontos onde Q = 0. Considerando variedades homogêneas 3-dimensionais simplesmente conexas com o grupo de isometrias de dimensão 4, além de E²(c)×R temos as esferas de Berger, o espaço de Heisenberg e o recobrimento universal do grupo SL2(R). H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy em colaboração com I. Fernandez, mostraram que o resultado referido acima também é válido para imersões nestes espaços. Isto abre várias questões que dependem de caracterizar geometricamente pontos nos quais Q = 0 para certas superfícies que satisfazem a relação H= f(│Q│²), onde f é uma função diferenciável. Para entender esta classe de superfícies, é necessário obter │Q│² em função de invariantes simples da imersão. Assim poderá ser descrita a imersão quando a superfície é compacta de gênero zero. Além disso, será interessante caracterizar os mergulhos de superfícies com curvatura média constante nestes espaços.

Rigidez Genuina de Subvariedades. Em 2004, Dajczer e Florit introduziram o conceito de rigidez genuína de subvariedades no artigo "Genuine deformations of submanifolds", alcançando assim uma generalização e unificação de vários resultados de rigidez isométrica. Conseqüências interessantes jà se encontram na geometria das subvariedades de codimensão dois. O trabalho mencionado acima constitui uma pavimentação do caminho para estender a teoria das deformações de hipersuperfícies de Sbrana e Cartan para codimensões superiores. Este projeto visa a estender a noção de rigidez genuína para o caso conforme que, como no caso isométrico, não somente seria um resultado importante por si mesmo, mas providenciaria uma visão unificada de vários trabalhos anteriores pertinentes ao assunto. Certamente a teoria revelará interessantes conseqüências já em codimensão dois, sem falar dos novos resultados esperados no caso das subvariedades conformemente planas.

Fibrados Riemannianos 'Fat'. O objetivo desta parte de pesquisa consiste em aprofundar o estudo da geometria com curvatura secional positiva, que atraiu interesse desde as investigações em Geometria global, como certificado pelos teoremas de Bonnet-Myers, Synge, e do teorema da esfera. Além disso, a natureza dessas investigações se direciona de forma natural ao ataque de célebres conjecturas na geometria Riemanniana, por exemplo, a conjectura de Hopf no produto de esferas de dimensão dois. Até hoje as únicas obstruções adicionais conhecidas à existência de uma métrica com curvatura positiva estão dadas pelos teoremas clássicos de Bonnet-Myers e do Synge para o grupo fundamental. Se por um lado há muitos exemplos com curvatura não-negativa, por outro hà poucos exemplos de variedades com curvatura seccional positiva: tipicamente elas são dadas por quocientes de grupos de Lie compactos e só existem em dimensão abaixo de 25 (com a exceção dos espaços simétricos de posto um). Parece natural a busca de novos exemplos no caso em que a variedade seja o espaço total de uma submersão Riemanniana. De fato, um trablaho de L. Florit com o W. Ziller, mostrou que , admitindo os orbifolds como base da submersão, todos os exemplos conhecidos compartilham de fato esta propriedade. Está planejado, com o intuito de focalizar alguns aspectos do problema, estudar submersões Riemannianas com fibras totalmente geodésicas, assumindo a 'fatness' do fibrado, ou seja, que todas as curvaturas secionais medidas por um vetor horizontal e um vertical, sejam positivas. Essa condição natural foi introduzida pelo Alan Weinstein e tem conseqüências muito fortes. Pretende-se abordar as questões seguintes:

- Nos fibrados principais, tais métricas são chamadas também de métricas de conexão e impõem uma forte limitação na curvatura. Todos os exemplos conhecidos de tais conexões 'fat', a fibra é 1 ou 3-dimensional e deve-se estudar se este é necessariamente o caso geral.

- É natural suspeitar que 'fatness' implica que o grupo estrutural do fibrado não poder ser reduzido a um subgrupo. Isto já apresentaria uma obstrução nova, além das conhecidas.

- O caso onde a base do fibrado é 4-dimensional já foi estudado em detalhe, e aí aparece a noção de 'self-duality'. Há certas estruturas sobre 8-variedades que são similares ao 'self-duality' no caso de dimensão 4 e isto leva naturalmente a investigar as relações com o 'fatness'.

Uma certa condição, chamada de 'hyperfatness', garante a curvatura positiva de todo plano para uma conexão métrica em um fibrado principal, e parece ser crucial para construir novos exemplos. A questão natural é estabelecer se é possível encontrar obstruções adicionais nos fibrados principais, além das conhecidas, para conexões 'fat'.

De importância crucial é permitir a base do fibrado ser um orbifold, o que permitiria obter infinitos novos exemplos de fibrados principais 'fat' de SO(3) sobre CP^2, dados por métricas 3-Sasakian. Vale a pena ressaltar que, nesse caso, já os fibrados 'fat' em esferas 4-dimensionais sobre esferas tridimensionais, são ainda meio misteriorsos, apesar que na categoria de variedades somente a fibração de Hopf pode ocorrer.

As investigações de algumas das perguntas acima já foram iniciadas em alguns estudos anteriores e mostrou-se que há uma condição análoga à de 'hyperfatness' para uma submersão Riemanniana geral. Procurou-se ainda a condição que garante que tal métrica possua uma curvatura seccional não-negativa, visto que, de fato, pode-se observar algumas obstruções concretas ao 'fatness', semelhantes a uma situação descrita por Weinstein.

Superfícies Mínimas e de Curvatura Média Constante em Espaços Homogêneos Tridimensionais. Estuda-se o comportamento geométrico dos fins verticais de curvatura média constante em H²×R, ou seja, verificar se o comportamento geométrico assimptótico é o mesmo de uma superfície de revolução de curvatura média constante em H²×R. Num caso interessante em que a curvatura média é ½, o fim anular rotacional tem certo desenvolvimento assimptótico em r (distância hiperbólica ao centro) que implica num crescimento exponencial em r. Será interessante comprovar se um fim geral, ou seja, se um gráfico vertical sobre um domínio exterior tem o mesmo crescimento assimptótico geométrico que as rotacionais de curvatura média ½, . Exemplos não triviais de tais gráficos verticais sobre um domínio exterior convergindo fracamente a uma rotacional (o fim é vertical, não possuindo pontos assimptóticos a uma altura finita) foram construídos recenetemente. Será que um tal gráfico converge geometricamente a um fim rotacional? No espaço Euclideano um gráfico mínimo sobre um domínio exterior converge geometricamente a um fim tipo catenóide ou tipo plano. Tal fato sendo provado pode-se chegar a demonstrar um resultado tipo Schoen para uma superfície completa de tipo topológico finito propriamente mergulhadas em H²×R, com curvatura média ½ e dois fins tipo anel, concluindo que neste caso a superfície deve ser de revolução.

Quando a curvatura média é estritamente menor que ½, o crescimento de um fim anular rotacional é linear em r e não exponencial, mas um problema de Dirichlet exterior análogo pode ser colocado e também o comportamento assimptótico de um fim vertical, quando a curvatura média é <1/2.

Construção de exemplos não triviais, resolvendo certo problema de Dirichlet exterior ou certo problemas de tipo Plateau (Douglas-Radó) para superfícies de curvatura média constante. Por exemplo:

Construção de gráficos verticais mínimos ou de curvatura média constante com certas propriedades geométricas, o bordo é uma curva convexa num slice de H²×R, o bordo assimptótico é um círculo, i. e, o fim é .

Dada uma curva mergulhada, fechada e retificável em H,³ é interessante investigar a existência de um disco imerso bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1. Sobretudo, é interessante encontrar condições geométricas para que tal disco seja mergulhado. Tal problema está relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1 em H³. Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1. Analogamente, dada uma curva megulhada, fechada e retificável em H²×R é interessante investigar a existência de um disco mergulhado bordando esta curva e cuja curvatura média seja 1/2. Tal problema está relacionado com o Problema de Plateau para a curvatura média 1/2 em H²×R. Idem para o caso em que a curvatura média é constante e está entre 0 e 1/2.

Estabilidade e resultados tipo Schoen, Meeks-White.

Problemas tipo Alexandrov e Bernstein quando o ambiente é um espaço homogêneo tridimensional, notadamente o espaço de Heisenberg.

Caracterizações de superfícies de curvatura média constante com uma dada propriedade geométrica, e. g, o bordo é um círculo. Tais questões podem ser estendidas para superfície com curvatura de Gauss extrínseca positiva, com possíveis generalizações n- dimensionais.

Estudo geométrico das superfícies de Weingarten, e. g, superfícies com curvatura de Gauss extrínseca constante positiva em H²×R, S²×R e, mais geralmente, superfícies de Weingarten em espaços homogêneos tridimensionais.

Problemas de Dirichlet sobre domínios admissíveis ilimitados (e. g. domínio exterior clássico) em H²×R para a equação da curvatura média constante H, com 0<H<1/2.

Subvariedades Mínimas, Hipersuperfícies de Curvatura Média Constante e de Curvatura Escalar Constante. Recentemente, o Teorema de Hopf sobre superfícies de curvatura média constante foi estendido por U. Abresch e H. Rosenberg para superfícies em uma classe importante de espaços de dimensão três que generalizam as formas formas espaciais clássicas. Recentemente, H. Alencar, M. do Carmo e R. Tribuzy mostraram que não há necessidade da curvatura média ser constante para a validade do Teorema de Abresch - Rosenberg; basta que o crescimento da curvatura média seja adequadamente limitado.Tal modificação permite demonstrar, de maneira simples, um Teorema de R. Bryant que estende o Teorema de Hopf para um tipo de superície de Weingarten.

Um problema importante é exprimir os elementos básicos da forma quadrática de Abresch - Rosenberg em função de elementos geométricos da superfície. Relacionado com este problema, citado anteriormente, é a questão de saber quais as superfícies dos espaços de dimensão três de Abresch – Rosenberg que possuem curvatura Gaussiana nula.

Problema de Yamabe. O objetivo é estudar o conjunto das métricas de curvatura escalar constante em uma classe conforme fixada. O problema da existência foi resolvido afirmativamente há cerca de 25 anos, após os trabalhos de Yamabe (1960), Trudinger (1968), Aubin (1976) e Schoen (1984). Em 1988 R. Schoen conjecturou que o conjunto de soluções de volume um deve ser compacto para qualquer variedade, excetuando-se o exemplo trivial da esfera canônica. Em trabalhos recentes foi mostrado que a conjectura da compacidade é verdadeira se a dimensão da variedade é menor que 25. Por outro lado, os primeiros contra-exemplos foram descobertos por S. Brendle em dimensões maiores que 51. Por fim, estes contra-exemplos foram estendidos para as dimensões remanescentes, entre 25 e 51. Este fenômeno de não-compacidade em dimensões altas é surpreendente, e certamente será objeto de estudos.

Pretend-se continuar explorando as técnicas usadas para construir os contra-exemplos. Uma outra questão interessante é saber se a Conjectura da Compacidade é verdadeira para métricas analíticas em qualquer dimensão. A desigualdade de Lojasiewicz para funções analíticas deve desempenhar um papel importante em uma possível prova. Outro tópico interessante é o estudo do comportamento assintótico de métricas conformes de curvatura escalar constante na vizinhança de singularidades isoladas. Espera-se que estas sejam sempre assintóticas a métricas de Delaunay, como se pode provar no caso localmente conformemente plano. Para o caso geral foi mostrado que tal resultado vale em dimensões baixas (3,4 e 5). O problema do comportamento assintótico em dimensões altas continua em aberto, e torna-se ainda mais interessante depois de encontrados os contra-exemplos para compacidade mencionados acima.

Fluxos Geométricos. Pretende-se estudar fluxos geométricos descritos por equações diferenciais parabólicas, dos quais o mais famoso é o fluxo de Ricci, introduzido por R. Hamilton em 1982 e empregado por G. Perelman na demonstração da Conjectura de Poincaré. Existem vários fluxos geométricos naturais, intrínsecos ou extrínsecos, os quais têm encontrado aplicações em problemas importantes de áreas como Geometria Riemanniana, Geometria Complexa e Relatividade, dentre outras.

Tem se estudado uma aplicação do fluxo de Ricci a um problema puramente geométrico, de interesse também dos relativistas. O problema tem um enunciado simples: mostrar que o conjunto das métricas de curvatura escalar positiva na 3-esfera (quocientado pela ação do grupo dos difeomorfismos) é conexo por caminhos. Tal resultado é fácil de verificar em dimensão dois, porém falso em dimensões altas, como demonstrado por Kreck e Stolz (1993). Eles provaram que a 7-esfera admite métricas de curvatura escalar positiva “exóticas”. A idéia para abordar este problema consiste em evoluir inicialmente a métrica pelo fluxo de Ricci, aproveitando o fato fundamental de que a positividade da curvatura escalar é preservada pelo fluxo. Não se pode mostrar que a solução converge para uma esfera de curvatura constante porque sabe-se que singularidades em tempo finito são inevitáveis. De fato a compreensão das singularidades foi a principal contribuição dada por Perelman para completar o programa proposto por Hamilton, e com isso demonstrar a Conjectura de Poincaré. Essas idéias dependem fortemente do entendimento das singularidades e do processo de cirurgia, fazendo uso das somas conexas introduzidas em 1980 por Gromov e Lawson (há uma versão independente de Schoen e Yau) para recuperar a métrica original. Caso obtenha-se sucesso nesse projeto poderia se mostrar também a conexidade por caminhos do conjunto das métricas assintoticamente planas no espaço euclidiano 3-dimensional, de curvatura escalar não-negativa. Tal resultado é de interesse em Relatividade pela conexão com o problema dos dados iniciais para as equações de Einstein.

Divergéncia dos Raios Geodésicos em Variedades sem Pontos Conjugados. Uma variedade sem pontos conjugados é uma variedade Riemanniana onde todas as geodésicas são minimizantes globais. Sem hipóteses adicionais no sinal da curvatura da variedade (curvatura não positiva, sem pontos focais), não é conhecido se as geodésicas divergem no recobrimento. Trabalhos anteriores exibem respostas parciais afirmativas ao problema em uma categoria de variedades que incluem propriamente as variedades sem pontos focais (não são assumidas condições sobre os campos de Jacobi). Pretende-se continuar o estudo deste problema no caso das variedades quasi-convexas.

Conjectura da Estabilidade Topológica e Grupos Gromov Hiperbólicos. Vão ser estudadas as conexões entre a estabilidade topológica e a propriedade de sombreamento de órbitas de fluxos geodésicos sem pontos conjugados com a estrutura geométrica do grupo fundamental (do ponto de vista de Gromov). Foi recentemente mostrado que no caso de variedades analíticas de curvatura não positiva, ambas as hipóteses sobre a dinâmica do fluxo geodésico implicam que o grupo fundamental é Gromov hiperbólico. Além disso, outro trabalho relacionado do mesmo autor mostra, sob a hypothese de que o fluxo geodésico é expansivo e não tem pontos conjugados, que o grupo fundamental é Gromov hiperbólico. Se a variedade tem curvatura não positiva, mas não é analítica, artigos recentes mostram que as referidas condições sobre a dinâmica do fluxo geodésico implicam que o grupo fundamental tem a propriedade de Preissmann: todo subgrupo abeliano é cíclico infinito. Pretende-se estudar este problema no caso de mais gerais variedades sem pontos conjugados, sem impor condições sobre o sinal da curvatura.

Fluxos Geodésicos e Teoria de Controle. Serão estudadas as relações entre a accessibilidade do fluxo geodésico em variedades sem pontos conjugados e a geometria global da variedade. A accessibilidade é uma noção provenente da teoria de controle, e foi usada para estudar propriedades ergódicas de fluxos geodésicos de curvatura negativa por Brin, Pesin, Gromov nos anos 1970-80; e para estudar sistemas persistentemente ergódicos por Pugh, Shub, Wilkinson e outros a partir da década de 1990. Outra pesquisa mostra que fluxos geodésicos expansivos sem pontos conjugados tem a propriedade da accessibilidade. Pretende-se estudar o seguinte problema proposto por Keith Burns (Northwestern University): se o fluxo geodésico de uma variedade sem pontos conjugados é totalmente inaccessível, então a variedade é plana.

Gráficos Lagrangeanos, Folheações e Rigidez. Gráficos lagrangeanos invariantes por fluxos de Euler-Lagrange ou Hamiltonianos são uma categoria importante de subvariedades invariantes por sistemas mecánicos. Incluem os famosos toros KAM que modelam fenômenos com ressonâncias e estão relacionados com a equação de Hamilton-Jacobi. Usando resultados importantes sobre gráficos lagrangeanos devidos a R. Mañé, e a teoria das folheações de codimensão 1, mostrou-se que os fluxos magnéticos em superfícies que preservam folheações suficientemente regulares de codimensão 1 tem força de Lorentz e curvatura constantes. Nosso objetivo a curto prazo é estudar problemas de rigidez para métricas de Finsler, conjunto de métricas relevante para sistemas físicos, dado que todo fluxo de Euler-Lagrange em um nível de energia supercritico é o fluxo geodésico de uma tal métrica.

Folheações Riemannianas Singulares. Este projeto visa a ser a prosecução do estudo das (F.R.S): em particular serão estudadas folheações Riemannianas singulares com seções (F.R.S.S), como nos artigos mais recentes.

Uma folheação (singular) é chamada Riemanniana se toda geodésica perpendicular a uma folha em um ponto, é perpendicular a todas as folhas que encontra. Além disso, uma F.R.S é chamada folheação Riemanniana singular com seções (F.R.S.S) se todo ponto regular está contido em uma subvariedade imersa, completa, totalmente geodésica que encontra todas as folhas ortogonalmente.

Exemplos típicos de F.R.S são a partição por órbitas de uma ação isométrica, o fecho das folhas de uma folheação Riemanniana (regular), exemplos construídos por suspensão de homomorfismo e exemplos construídos por cirurgia. Por sua vez, exemplos típicos F.R.S.S são partições por órbitas de ações polares bem como folheações isoparamétricas em espaços formas. Cabe aqui lembrar que existem folheações isoparamétricas com folhas não homogêneas.

Recentemente, provou-se que as folhas regulares de uma F.R.S são equifocais, i.e., a aplicação "end point map" associada a um campo normal paralelo segundo a conexão de Bott (conexão normal quando a folheação tem seções), tem posto constante. Segue que folhas regulares com holonomia trivial são espaços de recobrimento das folhas regulares com holonomia não trivial, sendo a aplicação "end point map" a aplicação de recobrimento. Tal resultado generaliza resultado anterior obtido para F.R.S.S.

Estimativas do Primeiro Autovalor do Laplaciano e Aplicações Geométricas. Interesses nesta área são as aplicações geométricas das estimativas do primeiro valor próprio do Laplaciano/Tom Fundamental. Foi estabelecido um método geométrico eficaz (computável) para obter cotas inferiores para primeiro valor próprio do Laplacian/Tom Fundamental de abertos em variedades Riemannianas. Com esse método pode-se provar (entre outras coisas) que o primeiro valor próprio do Laplaciano de uma superfície mínima de Nadirashvili (completa e limitada em R^3) e positivo. Esse é o primeiro exemplo conhecido de uma hypersuperfície do espaço Euclidiano com Tom Fundamental positivo e portanto com crescimento de volume (intrínseco) exponencial. Aplicando o método das folheações, foi obtida uma relação entre o tom fundamental de um aberto em uma variedade Riemanniana e as curvaturas médias das folhas de uma folheação transversalmente orientável de codimensão 1. Foi provado que toda folheação transversalmente orientável de codimensão 1de uma variedade com curvatura de Ricci não-negativa com folhas com curvatura média constante as folhas são mínimas. Esse método aplicado às esferas geodésicas de uma varieadade Riemanniana com pólo nos dá uma cota inferior para o Tom Fundamental em termos das curvaturas médias das esferas. Recentemente mostrou-se que o Tom Fundamental de subvariedades cilindricamente limitadas é positivo. Em particular as superfícies mínimas cilindricamente limitadas de Martin-Morales tem tom fundamental positivo e crescimento de volume exponencial.

Problemas e conjeturas. Um problema central nesta área é descrever que geometrias que admitem tom fundamental positivo. Esse é um problema proposto por Schoen e Yau no seu livro Lectures on Differential Geometry, Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology, 1994. Sabemos que superfícies (subvariedades) mínimas do R³ ( Rⁿ) cilindricamente limitadas tem tom fundamental positive. Recentemente, provou-se que variedades esfericamente simétricas [Rⁿ, ds²=dt²+ f²(t)dS^(n-1)] com esferas geodésicas com crescimento exponencial tem Tom Fundamental positivo. O problema analisado é uma versão mais modesta da seguinte conjectura: toda subvariedade própria do Rⁿ tem Tom Fundamental zero. O problema é provar essa conjectura para subvariedades mínimas. A primeira conjectura (se verdadeira) nos diria que o espaço hiperbólico somente poder ser imerso (via Teorema de Nash) no espaço Euclidiano como subvariedade não própria

Gráficos de Killing com Curvatura Prescrita. Este tema diz respeito aos seguintes problemas geométricos e sua formulação analítica em termos de equações diferenciais parciais não-lineares:

1. Existência de gráficos com r-curvatura média prescrita em ambientes semi-riemannianos com métrica estática ou estacionária. Formulação de problemas de existência para a r-curvatura média em termos de problemas de evolução, substituindo os métodos da teoria de equações elípticas por técnicas de equações parabólicas.

2. Existência de gráficos com r-curvatura média prescrita em ambientes admitindo um campo Killing conforme. Existência de gráficos compactos com ou sem fronteira, prescrevendo-se funções simétricas dos raios de curvatura.

Perturbação de Exemplos Rotacionais com Curvatura Constante. O projeto, neste ponto, enfocaria aplicações de métodos desenvolvidos por Uhlenbeck, Mazzeo, Pollack, dentre outros, à equações totalmente não-lineares relacionadas a contrações do tensor de curvatura, de cárater ora extrínseco, ora intrínseco. Enumeramos alguns tópicos específicos:

1. Bifurcação de nodóides com curvatura média constante em espaços homogêneos, baseada em estimativas do espectro do operador de Jacobi. Como exemplo, bifurcação de nodóides com curvatura média maior que 1 no espaço hiperbólico.

2. Estudo de fenômenos de condensação para r-curvatura média constante relacionados à existência de folheações de um ambiente riemanniano por hipersuperfícies condensando-se em uma subvariedade mínima ou totalmente geodésica.

3. Análise da r-curvatura média, com r par, em termos de invariantes intrínsecos relacionados a tensores de Einstein generalizados, mediante o uso de métodos perturbativos na geração de hipersuperfícies de Cauchy para o problema de valor inicial na gravidade de Lovelock.

4. Existência de mergulhos analíticos de variedades com tensores de Einstein generalizados nulos em ambientes semi-riemannianos com tensor de Ricci nulo.

5. Construção de hipersuperfícies com r-curvatura média nula e conjunto singular prescrito como uma dada subvariedade, estendendo os resultados de Caffarelli, Hardt e Simon e Nathan Smale no caso r=1.

Hipersuperfícies r-mínimas no Espaço Eudclideano:

Hipersuperfícies r-mínimas (isto é, cuja (r+1)-curvatura média anula-se) constituem generalizações naturais das hipersuperfícies mínimas (r=0), extensivamente estudadas em Geometria. Diferentemente do caso mínimo, não são conhecidos muitos exemplos (não-degenerados) destas hipersuperfícies, e inexistem teoremas de estrutura, especialmente no caso completo. Isto pode ser parcialmente atribuído ao fato que a condição de $r$-minimalidade é completamente não-linear (diferentemente da condição de minimalidade, que é quase-linear). Recentemente, resultados importantes foram obtidos: determinou-se a dimensão do espaço moduli de hipersuperf[icies r-mínimas com finitos fins planares no espaço euclidiano, com a conseqüente construção de novos exemplos com um ou dois fins planares e fronteira interna; caracterização dos catenóides entre tais hipersuperfícies com dois fins regulares, no espírito de um famoso resultado de R. Schoen para o caso mínimo. Esperamos continuar este pesquisa, estabelecendo outros resultados de estrutura (unicidade no caso em que a geometria no infinito é prescrita) e existência de exemplos obtidos por métodos de perturbação e colagem (no espírito de Pacard-Mazzeo-Uhlenbeck).

4. Colaboração com Centros Emergentes

Existem atualmente vários projetos de colaboração, com boa perspectiva de pesquisa, entre pesquisadores atuando em centros consolidados e centros em fase de desenvolvimento. Destacamos as seguintes colaborações: UNICAMP/UEM; UFScar/UFMA; UFRGS/IMPA; UNICAMP/ UFBA/UNEB; USP/UEM; UFAL/IMPA/UFBA; USP/UFPA; UnB/UFG; UFAM/UnB/UFC; UFAM/ UFPA; UFC/UFPI/UFPB/UFCG/UFPI/CEFET/URCA/UFAM,.

5. Formação de Recursos Humanos

Existe uma proposta da Sociedade Brasileira de Matemática de dobrar o número de novos doutores em Matemática dentro dos próximos cinco anos. Esta estimativa é perfeitamente compatível com os objetivos do grupo nacional de Geometria Diferencial, que tem se destacado tambem em termos de orientação de alunos de pós-graduação.

6. Eventos Científicos

Regularmente são organizados eventos científicos (conferências, simpósios, workshops e seminários) de caráter internacional, nacional e regional. A Escola de Geometria é o evento internacional mais tradicional da área, ocorrendo com freqüência bienal. Muitas das principais instituições acadêmicas mantêm um seminário semanal ou quinzenal de Geometria Diferencial. Entre outras, o IMPA, a USP, a Unicamp, a UnB, a UFRGS e a UFC organizam seminários regulares com palestrantes nacionais e internacionais. Encontra-se em fase de organização os seguintes eventos com participação de geômetras no comitê científico, a serem realizados em 2008-2009:

1. Segundo Encontro Istituto Superior Técnico-Istituto de Matemática e Estatística, Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos, IST, Lisboa, Portugal, September 6th-12th, 2009.

2. 27º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Julho de 2009;

3. International Symposium on Differential Geometry. In honor of Marcos Dajczer on his 60th Birthday, IMPA, August 17th-21st, 2009;

4. International Conference dedicated to A.V. Pogorelov, June 22-27, 2009, Kharkov, Ucrânia;

5. International Congress on Minimal and Constant Mean Curvatures Surfaces. Celebrating the 70th anniversary of Harold Rosenberg. Agosto de 2010, Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA.

No proximo triênio estão previstos os seguintes encontros científicos: Escolas de Geometria Diferencial; 4 outros eventos internacionais; 6 eventos de caráter nacional; Seminários regulares e workshops ocasionais em praticamente todas as principais instituições acadêmicas do país.

INSTITUTO NACIONAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATEMÁTICA