*RAINDROP*

MODELAGEM AMBIENTAL    

2009

2010

Ondas em Regiões Costeiras

A pesquisa, a formação e capacitação de recursos humanos nas atividades a serem descritas abaixo, é de fundamental importância a Matemática Aplicada no país e sua interação com outras áreas da Ciência e Tecnologia. Há uma grande carência de pesquisadores e desenvolvedores de software nesta área de grande importância para o nosso país. O objetivo deste subprojeto é estimular pesquisa e desenvolvimento na área de Dinâmica dos Fluidos relacionada à Oceanografia Física, com ênfase em Dinâmica Costeira e Proteção Ambiental. Uma das metas é promover a geração e aperfeiçoamento de recursos humanos nesta área carente da Matemática Aplicada, em particular. Os projetos relatados a seguir estão associados a problemas de proteção costeira devido à ação de ondas do mar assim como também problemas associados a bacias hidrográficas. A interação de ondas do mar com a topografia é um dos fatores que determinam a distribuição de energia transportada pelas ondas. Essa distribuição de energia está intimamente ligada ao meio ambiente do ponto de vista oceanográfico. Por exemplo quanto à erosão de praias, à segurança em portos, à estabilidade de estuários, dentre vários problemas relevantes. Mais abaixo serão apresentados também problemas associados a bacias hidrográficas, problemas estes que  dizem respeito à modelagem de rios tortuosos, com grande grau de sinuosidade, assim como também bacias, ou seja, um sistema de rios (ou canais) os quais configuram uma rede (network), domínio este onde equações diferenciais parciais serão resolvidas. Isto permite, por exemplo, estudar como uma onda de enchente viaja a jusante (rio abaixo) e passa de um afluente para um rio principal da bacia.

O tema considerado é relevante em Matemática Aplicada na área de Equações Diferenciais Parciais (EDPs).  Os modelos obtidos são baseados em EDPs cujas propriedades Físicas e Matemáticas são os principais objetivos de estudo nessa área. Do ponto de vista prático, os modelos são da maior importância em Modelagem Ambiental porque capturam fenômenos complexos da dinâmica oceânica, como também da atmosfera. A maioria dos modelos estudados tratam da interação onda/montanha, sejam estas no oceano, ou com alguns ajustes, na atmosfera. Parte do trabalho de pesquisa diz respeito à obtenção de modelos reduzidos a partir das equações completas da Dinâmica dos Fluidos como por exemplo as equações de Navier-Stokes (para fluidos viscosos) ou para as equações de Euler (fluidos ideais). Fazendo uso de equações diferenciais relativamente mais simples (isto é, os modelos reduzidos) é possível desenvolver teoria matemática assim como implementar modelos computacionais mais eficientes. A meta é formular modelos reduzidos capazes de capturar com precisão a dinâmica não linear envolvida no fenômeno físico em questão. E também que possam ser implementados com ajuda de métodos numéricos eficientes, tendo assim um impacto tecnológico importante na área de Dinâmica dos Fluidos.

As atividades de pesquisa descritas tem as seguintes 3 componentes que se complementam:

  • (a) Modelos reduzidos para propagação de ondas em meios heterogêneos
  • (b) Comportamento efetivo de ondas em meios heterogêneos
  • (c) Computação Científica

 Tecnicamente falando a primeira componente (a) trata da análise assintótica de operadores diferenciais.  Em outras palavras trata da redução de um complexo sistema de EDPs, em várias dimensões, para um sistema mais simples. Essa simplificação, em geral, faz com que   um sistema em várias dimensões espaciais seja reduzido a um sistema unidimensional, por exemplo.  No caso de ondas de gravidade no oceano ou na atmosfera a complexidade do meio de propagação, ou seja do domínio das equações, fica transcrita na forma de coeficientes variáveis no sistema reduzido de EDPs. Sendo assim é necessário utilizar e desenvolver estratégias para a análise de soluções dos modelos reduzidos na presença de coeficientes variáveis, altamente oscilatórios. Essa é a essência da segunda componente (b). Uma técnica muito em evidência nos melhores centros de Matemática Aplicada, e ainda pouco explorada no Brasil, é a técnica de modelagem estocástica. Os coeficientes variáveis, altamente oscilatórios, são interpretados como sendo aleatórios, ou seja como sendo realizações de processos estocásticos. Esta técnica é explorada pelo Grupo de Dinâmica dos Fluidos (GDF) no IMPA.

Tanto na componente (a) como na componente (b) relatadas acima, os sistemas de EDPs são bastante não-triviais. As técnicas utilizadas geram resultados aproximados. Simulações computacionais no espírito de  Computação Científica são da maior importância para o projeto. Os resultados computacionais são usados para ilustrar, validar e muitas vezes até para encaminhar questões teóricas, aguçando a intuição do pesquisador.

Este subprojeto em Modelagem Ambiental é coordenado pelo Prof. André Nachbin, que tem larga experiência em propagação de ondas. Desde 2003 o Prof. Nachbin é membro do Corpo Editorial da SIAM Journal on Applied Mathematics, a revista de maior destaque em Matemática Aplicada. O segundo mandato começou em 2006 e vai até  2008.

As atividades de pesquisa estão em sua maioria voltadas para ondas no oceano sendo tanto ondas de superfície como ondas internas. Ondas internas existem devido à estratificação do oceano em termos da densidade da água. A estratificação pode ser promovida pela variação de salinidade ou por variações de temperatura, dentre as causas  mais comuns. Ondas internas também ocorrem na atmosfera. No mar elas tem grande importância para a segurança de operações em alto mar. A pesquisa do grupo se distribui por esses dois tipos de ondas assim como também em ondas acústicas.  Matematicamente falando ondas aquáticas longas e ondas acústicas não são muito distintas o que permite ao grupo fazer pesquisa tanto em uma como na outra aplicação. A tecnologia matemática adquirida nesses temas também pode ser utilizada na modelagem de rios muito sinuosos e bacias hidrográficas.

O avanço técnico e a produção científica do GDF/IMPA nos últimos 5 anos foram excelentes. Isto se deve à colaboração com pesquisadores de primeira linha internacional e também a uma excelente formação de alunos de doutorado no GDF/IMPA. No período de 5 anos um total de 21 artigos foram aceitos ou publicados em revistas de primeira linha internacional. Estes artigos estão listados nas referências [W1-W21] e fazem uso de Modelagem Matemática, na obtenção de modelos reduzidos [W1,W5,W6,W16,W21] para ondas de superfície, [W31-W33] para ondas internas, Análise Assintótica de soluções [W3,W4,W7-W11,W13-W15,W19,W20], e também em Análise Numérica e Computação Científica [W2,W3,W7-W9,W12,W13,W15-W19]. Alguns artigos [W34-W37] foram produzidos na área de ondas acústicas que matematicamente tem uma forte conexão com ondas costeiras.

 1a. Ondas de superfície

            Primeiramente em 2003 o artigo Nachbin[W1] teve um enorme impacto teórico e em aplicações. Partindo das equações de Euler incompressíveis em duas dimensões (2D), reformuladas via a teoria do Potencial não-linear com fronteira livre, um novo e bastante geral sistema Boussinesq foi deduzido. Em outras palavras a dinâmica de um sistema de EDPs fica reduzida à dinâmica na fronteira livre, um problema unidimensional (1D). Assim este sistema é chamado de um modelo reduzido pois a complexidade do problema foi reduzida, tendo em mente reter ao máximo características matemáticas e físicas do modelo completo. O sistema Boussinesq é  um sistema de EDPs dispersivas, não lineares, a coeficientes variáveis que permite a análise de ondas solitárias propagando em um meio altamente desordenado. Isto nunca havia sido feito. É um resultado de grande interesse que foi publicado em uma revista da mais alta projeção internacional (SIAM J..Appl. Math). Este artigo deu lugar a uma tese de doutorado (JC Munoz Grajáles, IMPA, defendida em Novembro de 2002) que também foi publicada no SIAM J. Appl. Math. [W11]. Além disso, juntamente com colaboradores estrangeiros (Fouque (University of Santa Barbara) e Garnier (Paris VII, Jussieu)), a análise determinística de [W11] foi estendida para uma completa análise estocástica das EDPs a coeficientes aleatórios [W7] onde soluções são caracterizadas na forma de esperanças matemáticas. Esta análise inclui a difusão aparente em sistemas conservativos além da reversão temporal de ondas dispersivas. A difusão aparente significa que em uma equação de transporte, conservativa, o efeito do espalhamento múltiplo é assintoticamente equivalente à presença de um termo difusivo, inicialmente inexistente no sistema de EDPs [W22]. Já a reversão temporal de ondas é uma técnica que permite recuperar informação dos dados iniciais da EDP a partir do sinal refletido ou transmitido [W22]. O estudo para a reversão temporal de ondas não lineares foi iniciado na publicação [W2] onde diversos experimentos numéricos foram realizados. Este trabalho abriu caminho para uma completa teoria matemática em [W8]. O primeiro modelo não-linear considerado foi não-dispersivo, ou seja hiperbólico, uma Lei de Conservação. Fez-se uso de Invariantes de Riemann na caracterização probabilística de ondas não-lineares hiperbólicas interagindo com um meio aleatório, meio este caracterizado por coeficientes aleatórios no sistema de EDPs. Em particular mostrou-se como choques podem ser regularizados através de um forçante estocástico agindo na escala correta. O impacto deste resultado é extraordinário. O grande impacto dos artigos mencionados, em aplicações, fica claramente atestado pela publicação da carta [W9] na revista de Física de maior destaque neste feitio (a Physical Review Letters que tem coeficiente de impacto 7). Conforme mencionado o tema principal destes artigos é a difusão aparente de ondas, ao serem transmitidas através de um meio aleatório, e a reversão-temporal de sinais incoerentes (i.e. aleatórios) produzidos ao longo da evolução da onda. Este tema é de enorme interesse matemático e tecnológico [W22]. Isto fica patente visitando as páginas de pesquisadores do nível do Prof. G. Papanicolaou (Matemática, Univ. Stanford) e do físico Dr. Mathias Fink (Ecole Superieure de Physique et Chemie; Paris) e nas referências abaixo [W22-W27].   

OBJETIVOS: O subprojeto neste tema visa generalizar os resultados obtidos para situações mais realistas. Por exemplo para problemas em dimensão mais alta ou problemas com fronteira sólida que varie no tempo. Também visa obter simuladores (software) mais eficientes do que os disponíveis no momento. Esta classe de problemas é muito importante na análise de grandes distúrbios marítimos, sejam estes gerados por terremotos ou por grandes avalanches submarinas, daí a necessidade de modelos com fronteira móvel. Analisar o comportamento desses complexos modelos com fronteira móvel exige modelos computacionais eficientes além de computadores de alto desempenho.

 1b. Ondas internas

Este tema de pesquisa é mais recente e tira proveito da experiência do Grupo em Ondas  no caso de ondas de superfície. Em [W31,W32] foi obtido um modelo reduzido fortemente não linear para descrever a interação de ondas internas com estruturas submersas a grandes profundidades, um tema de importância para a segurança das operações na região costeira. O mesmo modelo descreve também correntes de ar interagindo com montanhas e topografias em geral, inclusive o perfil de uma região urbana. O modelo mencionado foi obtido, na tese de doutoramento de Ailín Ruiz de Zárate, a partir de uma configuração de duas camadas de fluidos limitadas por uma tampa rígida acima, uma simplificação comum nos modelos oceânicos e atmosféricos, e uma topografia irregular embaixo. Este trabalho generaliza resultados recentes encontrados em [W28].

OBJETIVOS: Um dos objetivos deste projeto é explorar a teoria matemática desenvolvida em [W33] através da implementação de software e a experimentação numérica, passos importantes para conseguir impacto tecnológico. Uma das metas em análise numérica é aprofundar na análise de estabilidade linear dos métodos espectrais e de diferenças finitas já desenvolvidos. Pelo lado da modelagem também visa generalizar o modelo mencionado eliminando a tampa rígida na configuração descrita acima. Com isto, seria possível estudar a interação de ondas na superfície do mar com ondas internas e topografia, uma situação mais realista na dinâmica oceânica. Obviamente, a implementação e experimentação numérica deste modelo também seriam necessárias. No caso linear a teoria de Difusão Aparente já está madura o suficiente para ser explorada neste contexto. É importante dar continuidade a esta linha de pesquisa, e obter generalizações no contexto de duas camadas. Os fenômenos de interesse são a Difusão Aparente e a Reversão-Temporal [W7,W9,W13,W22] no caso de ondas fortemente não lineares. O estudo de ondas fortemente não lineares tem aumentado em importância nos últimos tempos desde que ondas de grande amplitude observadas no oceano não podem ser descritas satisfatoriamente com a teoria fracamente não linear.

 Esta pesquisa é de importância para operações na região costeira em áreas de águas profundas onde a concentração dos sais e as diferenças de temperatura geram estratificação de tal forma que as ondas internas podem afetar estas operações.

2. Modelagem em bacias hidrográficas

A modelagem de rios e de sistemas fluviais é um problema de grande interesse ambiental no Brasil. Formular modelos hidrodinâmicos mais realistas fisicamente é um tema de grande interesse. Este esforço leva em conta desenvolver modelos matemáticos relativamente simples, capazes de acomodar mudanças devido à profundidade ou à sessão transversal do rio, ou em outras palavras à mudanças da sessão molhada do mesmo [H2,H4]. Equações do tipo águas rasas conhecidas como equações de Saint Venant [H1] lidam com este tipo de modelagem importantíssima na previsão de enchentes, por exemplo.  Serão estudados também problemas associados a bacias hidrográficas, juntamente a problemas que dizem respeito a rios tortuosos, com grande grau de sinuosidade. Em outras palavras as bacias, ou seja o sistema de rios (ou canais), matematicamente configuram uma rede (network), domínio este onde equações diferenciais parciais serão resolvidas. Isto permite, por exemplo, estudar como uma onda de enchente viaja a jusante (rio abaixo) e passa de um afluente para um rio principal da bacia. Este esforço combina distintos tipos de modelos fluviais. Não há muita modelagem matemática e computacional nesta área. Do ponto de visto matemático é extremamente interessante e pouco explorado: a resolução de equações diferenciais parciais em grafos/redes (networks). Alguns resultados interessantes podem ser encontrados em [H3,H5]. A pesquisa do Grupo de Ondas visa flexibilizar os modelos existentes para acomodar um regime mais amplo com ondas não-lineares, a começar pelas fracamente dispersivas permitindo assim considerar ondas de enchente viajando por intervalos de tempo mais longos. Também visa considerar rios mais difíceis de modelar como por exemplo rios altamente sinuosos ou rios com sistema de escoamento e deposição de grãos.

Meandros em rios altamente sinuosos são matematicamente semelhantes a montanhas nos modelos com ondas descritos acima.

Equipe do Grupo de Ondas:

Coordenador:  Prof. André Nachbin

 O Grupo de Ondas conta com uma grande rede de colaboração no Brasil e no exterior.

 Colaboradores nacionais:

  • Prof. Roberto Kraenkel, IFT/UNESP, São Paulo
  • Profa. Ailín Ruiz de Zárate, Dept. de Matemática, UFPr, Curitiba.
  • Prof.. Glauber Silva, Departamento de Física, UFAl
  •  Dr. William Artiles, posdoc IFT/UNESP, São Paulo

 Colaboradores estrangeiros:

  • Prof. Jean-Guy Caputo, INSA, Rouen, França.
  • Prof. Wooyoung Choi, Dept. de Matemática, New Jersey Inst. of Tech., EUA.
  • Prof. Jean-Pierre Fouque, Dept. de Estatística e Probab. Aplicada, U.St. Barbara, EUA.
  • Prof. Josselin Garnier, Dept. de Matemática, Paris VII, França.
  • Prof. Juan Carlos Muñoz Grajales, Dept. Mate., Univ. del Valle, Cali, Colômbia.
  • Prof. Knut Solna, Dept. de Matemática, Univ. of California at Irvine, EUA.
  • Profa. Cristina Turner, FaMAF, Universidad de Cordoba, Argentina

Contatos científicos na área do projeto:

  • Prof. John Bush, Dept. Math, MIT, EUA.
  • Prof. Roberto Camassa, Dept. Mate. Aplicada, Univ. N. Carolina, Chapel  Hill, EUA.
  • Prof. Roger Grimshaw, Dept. Math. Sciences, Loughborough University, Inglaterra.
  • Prof. Christophe Josserand, Lab. Model. Mech., Univ. Pierre et Marie Curie, Paris, França.
  • Prof. Nathan Kutz, Dept. Appl. Math., Univ. Washington, Seattle, EUA.
  • Prof. Paul Milewski, Dept. Matemática, Univ. Wisconsin at Madison, EUA.
  • Prof. George Papanicolaou, Dept. Matemática, Stanford Univ., EUA.
  • Prof. Demetrius Papageorgiou,  Dept. Math., Imperial College, Londres, Inglaterra.
  • Prof. Efim Pelinovsky, Inst. of Applied Physics, Nizhny Novgorod, Rússia.
  • Prof. Lenya Ryzhik, Dept. Matemática, Univ. Chicago, EUA.
  • Prof. Esteban Tabak, Courant Institute, NYU, EUA.
  • Prof. Enrique Zuazua, Universidad Autónoma de Madrid, Espanha.

 Pós-Doutorandos no IMPA:  Dr. Daniel Alfaro.

 Alunos de doutorado na área/IMPA:

  •   Ana Maria Luz.
  •   Yoisell Rodríguez Núñez.

 Alunos de mestrado na área/IMPA:

  • Carlos Eugênio Sauer
  •  Rafael de Araújo
  •  Vanessa Simões Silva

 Atividades:

Encontros e conferências:

(A) O Grupo de Ondas já organizou o encontro internacional Waves in Fluids nos anos de 2006 e 2008, ambos com apoio do Instituto do Milênio AGIMB/IMPA. Esses encontros tiveram apoio também do IFT/UNESP nas duas oportunidades e da NSF/EUA em 2008 demonstrando o grande interesse internacional deste tipo de atividade e tema. Esse encontro tem visado aproximar Matemáticos, Físicos e Geofísicos com interesse em Ondas em Fluidos. Também visa promover a participação de estudantes que, nos dois encontros,  tiveram a oportunidade de interagir com pesquisadores de grande renome internacional.

Promover novos encontros desse feitio, possivelmente com uma periodicidade de 2 anos, é uma das metas desse subprojeto.  Na última versão dois pesquisadores apoiados pela NSF (Tabak e Buhler, ambos da NYU) ministraram minicursos para alunos brasileiros, argentinos e americanos.

(B) Promover outros encontros em Dinâmica dos Fluidos e Equações Diferenciais Parciais visando integrar jovens pesquisadores dessa área, área esta com grande necessidade de desenvolvimento científico e de recursos humanos na Matemática brasileira e latino-americana.

Recursos Humanos:  

(C) Nos anos de 2007 e 2008 o Grupo de Ondas do IMPA contou com 3 pós-doutores e vários alunos de pós-graduação. O Prof. Kraenkel, colaborador do IFT/UNESP, também contou com 1 pós-doutor nesta área.