*RAINDROP*

PROBABILIDADE

2009

2010

Linhas de Pesquisa
I - Percolação. Sistemas percolativos. Processos de crescimento. Análise multi-escala. Comportamento crítico ou próximo à criticalidade.

Esta linha de pesquisa está focalizada em várias questões principais da moderna teoria da probabilidade, sua conexão com conceitos de criticalidade e transição de fase, conceitos e idéias de geometria coarse de macro objetos, e aplicações a questões clássicas de sistemas dinâmicos. Um dos principais objetivos do projeto é o desenvolvimento de instrumentos rigorosos e métodos baseados na análise estocástica e renormalização multi-escala, para tratar uma ampla classe de processos espaciais aqui chamados de sistemas percolativos (onde sistemas``globais" podem ser expressos naturalmente em termos de caminhos de eventos locais, que ``percolam"  no espaço, ou no espaço-tempo). Por outro lado, continuamos o estudo rigoroso de sistemas próximos à, ou na criticalidade, bem como o estudo teórico e rigoroso do fenômeno de transição de fases. Os trabalhos principais (período 2006-2008) foram publicados em revistas como Annals of Mathematics (sendo inclusive citados na apresentação da Medalha Fields para Wendelin Werner, em 2006).

Exemplos típicos são modelos de materiais porosos, epidemias espaciais, redes sem fio, modelos da biologia e teoria da ciência da computação. Menos explícitos, mas tão importantes quanto, estão exemplos da mecânica estatística, tais como a magnetização e localização de ondas, onde percolação tem um papel mais sutil. Esses modelos possuem vários parâmetros interagindo em um modo altamente complicado (e usualmente não-linear); um problema importante diz respeito à existência de transição de fase e, em caso positivo, sobre o comportamento próximo ao ponto crítico.

Técnicas de renormalização têm tido um papel importante no tratamento de problemas dessa natureza, em geral envolvendo: re-escalonamento recursivo, coarsening e análise multi-escala. Dada a situação concreta existem muitas escolhas nas quais se pode seguir um procedimento de renormalização: a essência está na arte de selecionar um pequeno número de variáveis-chave e postular  as relações adequadas entre elas, relações essas que se comportam bem para as operações mencionadas, de re-escalonamento.Tais idéias se tornam um instrumento poderoso para tratar um amplo leque de problemas, e têm sido usadas com sucesso pelos físicos e matemáticos nas últimas décadas. Ao mesmo tempo, a importância de geometria``coarse" e sua profunda conexão com os conceitos fundamentais de quase-isometrias foram reconhecidos após o celebrado trabalho de M. Gromov, e seu uso mais recente de teoria do potencial. Nosso novo entendimento de argumentos de análise multi-escala em teoria da percolação se adapta bem à geometria ``coarse", e conecta teoria da percolação a essa rica área do conhecimento. Entretanto, a maioria dos resultados ainda está em nível de heurística, e buscamos o desenvolvimento de técnicas para abordar sistemas críticos ou próximos da criticalidade (em particular técnicas de multi-escala aplicáveis com grande generalidade em processos auto-similares).

 Crescimento estocástico e formação de padrão. Este é um dos tópicos centrais de nosso programa de pesquisa nesta linha, que conecta técnicas de probabilidade, análise complexa,  e sistemas dinâmicos com conceitos de geometria em grandes escalas. Em uma breve sentença isto poderia ser resumido como a``matemática de objetos aleatórios não-suaves", onde devido a aleatoriedade, as formas são extremamente irregulares (um exemplo disto são os modelos DLA, ou ``Diffusion Limited Aggregation" e suas várias modificações).

Modelos de crescimento espacial (e.g. modelos para epidemias, crescimento de cristais, etc.) têm uma história bastante longa. Há uma variedade de mecanismos de crescimento dependendo dos materiais envolvidos, sua temperatura, densidade, fases, etc. Lamentavelmente, até recentemente, têm havido relativamente poucas abordagens gerais para a descrição dos complexos e desordenados padrões  que são característicos desse fenômenos. A natureza essencialmente de não equilíbrio na formação de padrões vem freando o desenvolvimento da área. Usualmente, a sistemática e as técnicas de mecânica estatística do equilíbrio não podem ser aplicadas neste contexto. Desde a última década este quadro tem melhorado substancialmente. Do ponto de vista puramente matemático uma das dificuldades está ligada na dificuldade em aplicar técnicas ligadas ao teorema ergódico sub-aditivo. Seguimos a tradição de Mecânica Estatística, com o estudo de modelos simplificados que tentam captar alguns dos aspectos físicos essenciais:

- O modelo DLA (agregação limitada por difusão) Este modelo tem se mostrado como um dos mais importantes paradigmas para crescimento desordenado, distante do equilíbrio, no qual análise multi-fractal tem-se mostrado particularmente frutífera. Diferentemente do modelo de Eden (percolação de primeira passagem), aqui o crescimento é controlado pela difusão: começa-se com uma partícula semente, e introduz-se no sistema uma partícula que se move (passeio aleatório) até que ela toque pela primeira vez a semente. Neste ponto ela fica grudada para sempre, etc... e a evolução continua desta forma, com novas partículas sendo acrescentadas. Este modelo foi introduzido por Witten e Sander (1983). Há algumas variantes do mesmo, com modificação das regras. Os padrões gerados por este processo são altamente ramificados, apresentando formação de dendrites. A razão física básica para ramificação é que o aglomerado é formado pelas bordas. É altamente improvável que um passeio aleatório vá conseguir penetrar ao longo dos "fiordes" sem tocar e então ficar grudado em alguma outra ponta do aglomerado. Portanto, a maior parte do crescimento acontece na zona ativa próximo ao raio externo do aglomerado. Voss (1984) considerou a possibilidade de lançamento de uma densidade finita de partículas, em vez de uma por vez. O parâmetro importante é a densidade de partículas inicialmente em movimento. Quando esta densidade é pequena, os padrões gerados são muito semelhantes aos criados pelo DLA padrão (uma partícula em movimento por vez). O crescimento do aglomerado é sub-linear, neste caso. Entretanto, para densidades altas a situação muda significantemente: simulações mostram que o aglomerado cresce linearmente, e que sua forma limite é convexa. Ainda, a estrutura interna do aglomerado é radial, lembrando o crescimento de dendrites das baixas densidades.

Simulações também indicam um outro resultado surpreendente: a transição de sub-linear a crescimento linear, quando a densidade de partículas fornecidas aumenta, apresenta - se de forma bastante complicada, com a possível presença de múltiplos pontos críticos. O entendimento destes mecanismos de crescimento e a natureza dos expoentes é ainda muito pobre, e mesmo em dimensão um ele apresenta problemas matemáticos difíceis.  Ainda menos pode ser dito em dimensões mais altas. Dados experimentais e simulações computacionais indicam o aspecto fractal do aglomerado em crescimento. Trabalho recente desenvolvido por membros do grupo mostrou que a combinação de instrumentos clássicos com idéias de "coarsening" e análise multi-escala pode levar a uma descrição qualitativa do sistema, em particular a provar rigorosamente a existência da transição de sub-linear a linear, dependendo da densidade de partículas fornecidas. O método também indica uma nova forma para tratar sistemas fora do equilíbrio: se a evolução do sistema está destruindo o equilíbrio inicialmente existente, a velocidade com que isto acontece se espalha no ambiente, pode estar diretamente ligada à velocidade com que o agregado cresce, com sua forma assintótica e sua estrutura geométrica interna. Este é um passo importante para o estabelecimento de conexões entre métodos estocásticos e idéias de sub-aditividade, por um lado, e poderosas técnicas desenvolvidas em análise complexa por Carleson, Makarov e seus colaboradores, por outro lado.

 Isto ainda requer a criação de métodos matemáticos para descrever o processo altamente não-linear de deposição de partículas do ambiente na superfície do aglomerado, e em particular requer um entendimento muito preciso e maneira de formalizar como o crescimento do aglomerado afeta o equilíbrio local do meio em torno de sua fronteira.

- Processo de contato dinâmico e modelos de propagação de epidemia em uma população em movimento.  A questão principal sob consideração é como descrever o comportamento de uma epidemia em uma população grande e que se move (partículas). A idéia é acrescentar um ingrediente extra ao processo de contato clássico, a saber, a mobilidade das partículas, que podem estar infectadas e transmitir a infecção a outros indivíduos. A principal dificuldade do modelo é que não existem quantidades úteis (pelo menos não é claro) que exibam sub-aditividade. Um possível modo de tratar destas situações foi inicialmente considerado por Hammersley e Kesten ainda no final da década de setenta. A principal idéia consiste essencialmente em substituir sub-aditividade, que é uma propriedade quase certamente, por uma noção mais fraca de super-convolutividade, uma exigência mais fraca sobre as funções de distribuição.  Em trabalhos que envolvem membro da equipe tem sido desenvolvida uma técnica de renormalização multi-escala bastante geral que permitiu responder interessantes problemas em aberto, e deverá ainda ter vários desenvolvimentos importantes nesta  linha.

- Passeios Aleatórios em meio aleatório e tópicos relacionados. A investigação matemática de transporte em meio desordenado tem sido um campo de pesquisa ativo nos últimos trinta anos, rico em surpresas e desafios matemáticos. A presença de aleatoriedade no meio é fonte de uma ampla variedade de efeitos que escapam à esfera dos comportamentos apresentados por meios constantes ou periódicos. Em um número de casos o método do ambiente visto pela partícula que caminha tem se mostrado um poderoso instrumento. Entretanto, modelos básicos tais como um passeio aleatório em meio aleatório ou movimento Browniano perturbado por uma deriva que depende do ambiente, quando a deriva aleatória não é do tipo gradiente de uma função estacionária nem incompressível, não tem sido passíveis de tratamento por este "approach", e permanecem como desafios matemáticos. Membros da equipe estão envolvidos em vários casos de interesse nesta direção:

- Pinning de polímeros e interfaces.  Resulta que a estatística de cadeias muito longas de polímeros são governadas por expoentes críticos não-triviais. Como no problema da percolação, isto é um fenômeno puramente geométrico; entretanto através de uma aplicação a um sistema magnético, todos os resultados de grupo de renormalização, geometria fractal e escalonamento podem ser aplicados. Idéias da teoria de fenômenos críticos tem sido de grande importância na modelagem de polímeros desde que o físico e vencedor de Prêmio Nobel P.G. de Gennes descobriu como os dois tópicos estão conectados.

A determinação exata de alguns expoentes críticos para polímeros em duas dimensões se baseia em idéias tais como método do gás de Coulomb, de invariância conforme, etc. A descrição matemática de polímeros tem sido costumeiramente dada em termos de passeios aleatórios que se auto-evitam, de modo que cada vértice é visitado no máximo uma vez, um modelo de fundamental interesse em combinatória, teoria da probabilidade e física estatística. Trata-se de um modelo de caminhos para passeios aleatórios, mas não pode ser descrito em termos de probabilidades de transição, sendo certamente não-Markoviano. Essas características fazem o tópico muito difícil, e muitos problemas centrais ainda permanecem não resolvidos. Membros da equipe estão diretamente envolvidos em questões de pinning crítico para cadeia de Markov na presença de um potencial aleatório localizado (em um único sítio).

II - Sistemas de partículas interagentes. Transição de fase dinâmica. Taxas de convergência ao equilíbrio.

São modelos suficientemente flexíveis onde partículas evoluem no espaço e no tempo, seguindo regras simples de interação local. A complexidade destes modelos é conseqüência da enorme quantidade de eventos simples ocorrendo simultaneamente. Em linhas gerais, os problemas que são estudados atualmente assumem as formas mais diversas, variando desde os problemas clássicos como estudo da existência e caracterização de medidas invariantes, a questões ligadas à dicotomia entre recorrência e transitoriedade até a abordagem mais recente do comportamento hidrodinâmico e dos problemas da convergência ao equilíbrio, objetivando compreender fenômenos de metaestabilidade e propriedades de convergência de algoritmos numéricos. Entre os problemas estudados por membros da equipe estão questões ligadas a evoluções de superfícies aleatórias, modelos de competição, passeios aleatórios coalescentes, e processo de Hammersley, metaestabilidade e condensação em modelo do tipo alcance zero com taxas decrescentes e estados estacionários de não-equilíbrio. 

A seguir detalhamos alguns dos projetos nesta linha de pesquisa:

- Comportamento hidrodinâmico de sistemas de partículas em ambiente aleatório. Um campo de pesquisa muito ativo nos últimos anos tem sido o estudo do movimento de uma partícula em ambiente aleatório. A idéia principal é modelar a influência que têm sobre o movimento de uma partícula as heterogeneidades mais ou menos aleatórias que podem ser encontradas no meio no qual essa partícula se movimenta. Por exemplo, o movimento de uma carga num cristal com impurezas. Apesar dos grandes progressos feitos nos últimos anos,uma descrição completa do limite de escala de uma partícula em ambiente aleatório está ainda longe de ser completada, devido à enorme variedade de fenômenos que podem ser encontrados no estudo deste limite de escala.

- Comportamento hidrodinâmico de sistemas de partículas não conservativos.

Procuramos por sistemas de partículas apropriados que representem sistemas físicos microscópicos não conservativos relevantes. O objetivo é justificar rigorosamente o comportamento macroscópico do sistema físico a partir da evolução estocástica dos componentes microscópicos do sistema. Em termos probabilísticos esses são resultados do tipo Lei dos Grandes Números chamados de limite hidrodinâmico do sistema.

- Meta-estabilidade e condensação no modelo de alcance zero (“zero-range”).

O fenômeno de condensação aparece em muitos sistemas físicos.  Como é sabido, do ponto de vista físico,  na condensação de Bose-Einstein uma fração macroscópica de átomos fica no estado quântico do mínimo da energia e isto é possível observar macroscopicamente.  De ponto de vista matemático o fenômeno de condensação pode ser interpretado como migração espontânea de um número macroscópico de partículas para algum região de espaço.

Uma família de número finito de variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas indexadas por um potencial químico representa colunas de partículas. Quando o parâmetro aumenta até o valor crítico o número médio de partículas em cada coluna converge a densidade maximal finita.  A distribuição de partículas com condição de número total de partículas fixo não depende do parâmetro (ensemble canônico).  Quando o número de colunas é fixo e o número de partículas converge a infinito a medida canônica se comporta do jeito seguinte: se remover a coluna com a maior número de partículas, então a distribuição de partículas nas colunas restantes converge à medida grand canônica com densidade maximal, logo todos os partículas que sobram concentram-se em uma coluna só.

A metaestabilidade do processo foi examinada por membros da equipe, no caso particular do grafo simétrico completo. Os mesmos pesquisadores planejam estender o resultado para outros grafos e outras dinâmicas.

- Emparelhamento perfeito e campos de Gibbs.

Estudamos o problema de emparelhamento perfeito de custo minimal num grafo completo.

Os sítios do grafo são todos pontos de um processo de Poisson no plano. O custo para um elo é a distancia no plano entre os dois pontos finais do elo.Um método vindo de física estatística é proposto. Introduzimos um campo de Gibbs sobre os elos do grafo completo. Cada elo tem dois estados: aberto e fechado. O Hamiltonian do campo de Gibbs contem três tipos de contribuições à energia.  O primeiro é proporcional ao comprimento dos elos abertos, o segundo dá energia positiva para cada par de elos abertos que tem um sítio comum (colisão de elos), o terceiro dá energia positiva para cada sítio que não é fim de nenhum elo aberto (ponto isolado ). Esperamos que os estados de solo (ground states) deste modelo são ligados ao solução do problema de emparelhamento. Estudamos as propriedades do campo de Gibbs e dos estados de solo.

- Estados estacionários fora do equilíbrio.

Um dos mais importantes problemas atuais da física-estatística consiste em compreender os estados estacionários fora do equilíbrio (SNS). Ao contrário dos estados de equilíbrio descritos por medidas de Gibbs, os SNS apresentam diversas peculiaridades, como correlações de longo alcance, funcionais termodinâmicos não locais e não aditivos.

- Estimação do parâmetro de infecção no processo de contato e suas variações.

Na análise de grande parte dos modelos biológicos complexos é imperativo ter uma descrição probabilística apropriada do modelo que permita a postulação de resultados analíticos relevantes que devem ser rigorosamente estabelecidos. Dessa forma, os modelos se tornam credíveis para representar fenômenos reais e ficam propícios a uma investigação estatística rigorosa. Um tipo de sistema biológico complexo que permite modelagem por Sistemas de Partículas (SP) é a propagação de uma infecção provocada por um agente infeccioso em determinado tecido celular. Por exemplo, na propagação célula a célula de determinado vírus, uma proposta de modelagem é pelo chamado processo de contato. A taxa com a qual uma célula infectada transmite a infecção para um dos seus vizinhos é um parâmetro do processo que determina se com probabilidade estritamente positiva a infecção sobrevive indefinidamente. Alguns estimadores para este parâmetro foram propostos na literatura e propriedades probabilísticas desses estimadores foram obtidas como consistência e normalidade assintótica. Queremos estudar modificações do processo de contato obtendo novos modelos para os quais seja relevante a estimação dos parâmetros de infecção.

III- Sistemas desordenados. Passeios aleatórios em meio aleatório. Matrizes aleatórias.

Sob esse tópico estão agrupados vários projetos em andamento, como a descrição de modelos de spins na presença de desordem, no campo magnético ou na interação entre os spins, questões de envelhecimento que se apresentam em tais sistemas, passeios aleatórios com taxas aleatórias, campos Gaussianos aleatórios, presença (ou não) de ``pinning". Buscam-se novos métodos de tratamento de evoluções em meios desordenados, focalizando em questões de delocalização de ondas quânticas em redes, sistemas tipo "spin glass", e ambientes dinâmicos com aplicações em processos bio-sociais. O estudo de matrizes aleatórias aparece naturalmente. Alguns projetos nesta linha de pesquisa estão aqui resumidos:

- Descrição do equilíbrio.

O projeto pode ser dividido em três partes inter-relacionadas.

1. O Teorema central do limite para variáveis dependentes pode se estudado por uma abordagem introduzida por Feller, mas não suficientemente desenvolvida. O problema é motivado por um modelo de Mecânica Estatística de spins acoplados por uma interação hierárquica. Uma equação a derivadas parciais não-linear associada pode ser utilizada para obter uma caracterização detalhada da trajetória em termos de medidas infinitamente divisíveis.

2. A decomposição espectral de operadores de diferença finita é estudada por matrizes de transferência. Estas são matrizes unimodais e o produto destas fornece o comportamento assintótico das soluções linearmente independentes. Aplicamos a teoria ergódica aos ângulos de Prufer associados com produtos de matrizes de transferência esparsos com a finalidade de obter a dimensão exata de Hausdorff da medida espectral.

3. Investigamos a solução de Parisi de um vidro de spin no espaço de réplicas como um sistema dinâmico do tipo mencionado no tema 1. A função parâmetro de ordem é modelada por diferentes estruturas hierárquicas do espaço de réplicas e minimizamos sobre todas as possibilidades.

-O modelo de Anderson.

Sistemas eletrônicos desordenados, ou mais geralmente propagação de ondas em meios aleatórios, são atualmente alguns dos mais investigados tópicos em física matemática. Além do forte interesse físico, motivado pela física do estado sólido, este assunto propicia uma classe de problemas matemáticos interessantes nos campos da teoria de probabilidade, análise funcional e mecânica estatística.

Para descrever uma partícula quântica movendo-se em um cristal desordenado, Anderson, em seu trabalho fundamental de 1958 introduziu um modelo no qual assume que o elétron interage apenas com as impurezas que produzem um potencial que varia estocasticamente de um vértice a outro. Este é um dos mais simples modelos para descrever um elétron em um cristal desordenado, mas já apresenta uma estrutura matemática muito rica, e o principal problema é entender como as impurezas afetam o comportamento do elétron no sólido. Anderson foi capaz de mostrar que, se os átomos forem colocados juntos e com alta desordem, então as ondas estão confinadas a locais específicos no espaço de modo que os próprios elétron s ficam localizados em pequenas áreas - o fenômeno hoje chamado de localização de Anderson. O fenômeno de localização está razoavelmente bem entendido também a nível matemático. Por outro lado, a deslocalização em fraca desordem ainda representa um problema matemático notoriamente difícil. Além da prova de A. Klein da deslocalização no reticulado Bethe, não se sabe de nenhum outro exemplo onde se tenha podido provar que o elétron estaria não localizado para desordem fraca. Isto permanece como problema matemático aberto e um grande desafio.

IV- Análise matemática de sistemas de expressão gênica.

Em primeira aproximação, o destino de uma célula é determinado pela evolução temporal dos níveis de expressão de seus genes. Embora isso não seja sempre verdade, esta visão permite a modelagem matemática de diversos problemas biológicos interessantes para os quais dados experimentais podem ser gerados, principalmente aqueles provenientes da tecnologia de microarrays. Esta tecnologia é uma poderosa ferramenta em pesquisa em bioquímica que permite monitorar simultaneamente os níveis de expressão de milhares de genes. O principal objetivo de membros da equipe que estão atuando nessa linha é o de explorar esta aproximação e encontrar modelos matemáticos apropriados que sejam, ao mesmo tempo, interessantes do ponto de vista matemático e úteis na descrição dos fenômenos biológicos de interesse. O tipo de abordagem matemática que estão adotando envolve uma modelagem por equações diferenciais com termos de interação constantes por partes, baseada em diversos trabalhos anteriores. O projeto envolve três passos básicos: Análise e interpretação de dados de expressão gênicas; Aprendizado estatístico. Análise de sistemas de expressões gênicas em interação.

V- Inferência em processos estocásticos. Processos com dependência de longo alcance. Estimação e previsão.  Cadeias com conexões completas.

Um dos interesses é fazer estimação e previsão em processos com longa dependência. No aspecto da estimação, membros da equipe têm tratado de métodos paramétricos, semi-paramétricos e não paramétricos para processos univariados, com a presença ou não de sazonalidade e em situações estacionárias ou não. Os esforços agora estarão concentrados nas questões acima para  processos multivariados.

Pretende-se ainda relacionar estes estudos com processos mais gerais, e ainda aqueles para modelar a volatilidade estocástica. Aspectos de valores extremos, parâmetro fracionário dependente do tempo, estimação baseada na teoria de wavelets e previsão nestes processos serão alguns dos assuntos estudados, que têm forte aplicação em Finanças, Hidrologia, Economia e Computação.

Outro projeto de pesquisa neste tópico trabalha com cadeias de Markov de alcance fixo k com alfabeto finito A e denotemos por L ao conjunto das seqüências de k símbolos do alfabeto. Consideremos a situação em que várias seqüências em L possuem as mesmas probabilidades de transição associadas, nesse caso o verdadeiro número de parâmetros do modelo é menor do que os  |L|(|A|-1) correspondentes a uma cadeia de alcance k, pois várias seqüências em L têm as mesmas probabilidades de transição. Um exemplo disto são as cadeias de Markov de alcance variável, onde os contextos relevantes são identificados com uma arvore prefixo T e o número final de parâmetros do modelo é |T|(|A|-1) onde |T|<|L|, isto leva a uma descrição mais parcimoniosa do modelo.  Estamos interessados em encontrar o modelo mínimo, isto é, o modelo markoviano com o menor número de parâmetros para o processo. Com tal propósito define-se uma relação de equivalência no conjunto L, onde duas seqüências são equivalentes se e somente se têm as mesmas probabilidades de transição, levando a uma descrição econômica do modelo Markoviano. Técnicas utilizadas para cadeias de alcance variável podem ser adaptadas para a estimação consistente do modelo mínimo. Os modelos mínimos podem ser de grande utilidade em áreas como biologia, lingüística, genética, etc. nas quais, pela natureza dos dados, o número de parâmetros num modelo "não mínimo" pode ser muito elevado, exigindo uma amostra consideravelmente grane.

Outro projeto ligado a analise de processos com longa dependência:

- Comparação de eficiência para estimadores em modelos para series temporais com longa dependência. Esta área tem se tornado, nos últimos anos, bastante fértil para a pesquisa. Além disso, cada vez mais a interseção entre a Teoria Ergódica e a Análise de Séries Temporais tem evidenciado ser uma fonte promissora de pesquisa. Envolve os seguintes estudos: considerar o método de máxima verossimilhança para processos estocásticos caóticos com a característica de longa dependência e comparar a eficiência destes estimadores analisando suas propriedades assintóticas; apresentar uma análise completa dos processos com longa dependência e com sazonalidade; determinar as propriedades assintóticas do estimador para a quebra estrutural; estudar os processos com longa dependência à tempo contínuo com o uso da equação de Langevin; estudar o poder dos testes da razão de verossimilhança para a escolha entre dois modelos de substituição de bases que descrevem a evolução de uma seqüência de DNA; estudar as propriedades assintóticas do estimador proposto no método da análise das flutuações destendenciadas, amplamente utilizado por biólogos e físicos; analisar os dados desbalanceados que descrevem os movimentos da fala; estudar o critério de determinação eficiente, que generaliza critérios de seleção de modelos, amplamente conhecidos na literatura e obter a escolha ótima da função penalizadora.

VI - Inferência estatística.

Algumas questões de interesse: (i) desenvolvimento e avaliação numérica de formas inferenciais quando há heteroscedasticidade de forma desconhecida em estruturas de regressão (ii) desenvolvimento e avaliação de novos procedimentos inferenciais na classe de regressão beta;  (iii) desenvolvimento e avaliação de métodos baseados em refinamentos assintóticos, tais como correção de viés, correção de Bartlett e uso de modificações de verossimilhanças perfiladas; (iv) desenvolvimento e avaliação de novos procedimentos inferenciais para modelos de regressão com erros não normais;  (v) desenvolvimento e avaliação de novos procedimentos inferenciais para análise de diagnóstico; (vi) Testes não paramétricos para modelos de dependência.  Estes testes usam o tamanho da máxima subseqüência crescente de uma permutação aleatória, Young Tableaux e cópulas. São testes formulados com um processo de identificação entre cópulas e Young Tableaux.

VII - Estatística Computacional Aplicada.

Os dois principais problemas tratados nesta linha de pesquisa estão relacionados a grandes volumes de dados e a sistemas complexos. O foco do primeiro está na análise de imagens onde a relação sinal/ruído é muito desfavorável, como é o caso dos dados de imagens corrompidas por ruído speckle.  Serão feitos estudos tendentes ao desenvolvimento de métodos não paramétricos e de algoritmos baseados em distâncias estocásticas. No que diz respeito à modelagem de sistemas complexos, serão tratados novos problemas emergentes do uso de redes de sensores sem fios. Esta tecnologia permite o acompanhamento de fenômenos de acesso difícil ou impossível em forma contínua com custo relativamente baixo. As redes de sensores oferecem diversas novas oportunidades de pesquisa com o objetivo de otimizar o seu uso, dentre elas a modelagem cuidadosa do seu funcionamento, técnicas de adaptação dinâmica e métodos de apoio à decisão baseados em informações parciais e ruidosas.

VIII- Analise de dados funcionais.

Com o desenvolvimento de tecnologias mais modernas, dados funcionais têm sido observados com freqüência cada vez maior em diversos campos. Em muitos casos, o interesse está na estimação não somente da curva, mas também de outros funcionais como, por exemplo, derivadas e integrais. As técnicas não paramétricas são particularmente apropriadas para a modelagem de dados funcionais. O objetivo deste projeto é a estimação não-paramétrica de curvas, particularmente utilizando representação por funções de suporte compacto, e.g. B-splines.  Aplicações em Econometria, Robótica e Meio-ambiente. Mais especificamente, pretende-se:

1.- Estender a metodologia, já utilizada com sucesso em  inferência não paramétrica na estimação de funcionais da  intensidade de um processo pontual  para processos estocásticos espaciais.

2.- Propor um novo método para testar hipóteses quando os dados são curvas.

3.- Abordar o problema de estimação de função média e função de covariância quando a amostra consiste de dados funcionais  agrupados. Este problema foi motivado por uma situação real referente à distribuição eficiente de energia elétrica na região Sudeste do Brasil.

4.- Criar uma nova metodologia para o estudo de otimização com restrições quando os dados são observados com ruído.  Aplicações na área de robótica, particularmente, nos problemas de "unmaned vehicle" e em rotas de vôo que evitam zonas de turbulência.

 IX- Modelagem Estocástica e Análise Estatística de Sistemas Complexos

Sistemas complexos com difusões anômalas ocorrem na modelagem matemática de fenômenos nos mais diversos campos de aplicação, Economia, Biologia, Física e outros, onde, parte substancial dos resultados tem sido empiricamente evidenciados via simulações numéricas e que merecem um tratamento matemático mais rigoroso.

Neste contexto, a caracterização das difusões anômalas através do índice caudal e a quantificação da não-normalidade via medidas de divergência tais como a distância de Mallows serão objetos de estudo. Impondo-se uma estrutura de dependência de ordem superior ao processo de Lévy nos leva ao problema de se estimar a ordem de cadeias de Markov com espaço de estados geral bem como a análise da ergodicidade e generalizações para o caso não-homogêneo. Seguem alguns problemas específicos que serão estudados:

Difusões Anômalas e Inferência em Processos de Lévy; Análise de Regimes Difusivos de Retornos Financeiros Processos de Risco com Estruturas de Dependência e Superdifusivos; Estimação da Ordem de Cadeias de Markov ; Algoritmos/Procedimentos MCMC Não-Homogêneos; Otimização no Estudo da Dinâmica Molecular; Medidas de Divergência e Medidas de Informação e Difusão; Funções de Variação Regular e Robustez Bayesiana; Extremos e Inferência em Processos de Lévy; Processos de Risco e Distribuições doTipo Fase.

 X - Modelagem de fenômenos socioeconômicos.

Os estudos de fenômenos socioeconômicos, mediante conceitos e técnicas de Sistemas de Partículas Interagentes e Física Estatística de agentes heterogêneos interagentes tiveram seu início com o trabalho pioneiro de Föllmer (1974). Desde então, e mais fortemente nos últimos vinte anos, o número de publicações na área vem aumentando em ritmo acelerado. Estas publicações versam sobre diversos temas, como, por exemplo, a formação de preço em mercados de consumidores interagentes, transições de fase na adoção de novas tecnologias, formação de bolhas e crashes em mercados financeiros, e até mesmo temas de cunho mais sociológico, como, por exemplo, a distribuição da criminalidade entre cidades.

Esta linha de pesquisa insere-se, mais especificamente, na modelagem estocástica de tais processos socioeconômicos complexos com o auxílio de IPSs e Teoria dos Jogos Dinâmicos (Fudenberg e Tirole (1991)). Objetivamos com esta pesquisa entender a formação dos fenômenos estudados e sugerir novos caminhos de seu controle.

- Equações diferencias estocásticas em Micro e Macroeconomia. Desejam-se estudar equações que modelam fenômenos de variação de preços com equilíbrio competitivo Walrasiano e casos que estudam a estabilidade de equilíbrio macroeconômico.  Na fase intermediaria deste projeto será desenvolvido um estudo qualitativo de Equação Diferenciais lineares e não lineares, bem como casos especiais de modelos de Kaldor-Kalecki.  A fase final será dedicada às aplicações com estudos detalhados de modelos de Solow, Walras-Keynes-Phillips.

XI- Convergência de processos φ- irredutíveis. Simulação perfeita e taxas de convergência.

 Nesta linha estão agrupados vários projetos, como:

-Estudo da convergência de cadeias Markov φ- irredutíveis. Recentemente membros da equipe conseguiram melhorar as cotas para a velocidade de convergência obtidas por Douc, Moulines, Rosenthal (2004). O argumento utilizado por estes autores esta baseado em um acoplamento, o qual depende da existência de um conjunto pequeno (o qual e um enfraquecimento da noção de estado de Doeblin) e condições de drift (Foster-Lyapunov) sobre estes conjuntos. As melhoras nestes métodos foram obtidas pela consideração de acoplamentos dependentes, tais como o acoplamento de Vasershtein e posteriormente o acoplamento máximo de Griffeath. Novas condições de deriva, as quais consideram a historia completa dos processos, foram desenvolvidas. A generalização destas idéias a acoplamentos que dependem da história completa abre a possibilidade de estudar cotas para a convergência de processos  φ- irredutíveis não Markovianos. Ainda na mesma linha, usando acoplamento e simulação perfeita, busca-se estabelecer condições suficientes para a obtenção de convergência exponencial na Lei Multidimensional dos Grandes Números (LMGN), para campos aleatórios com spins ilimitados e para medidas aleatórias definidas em meios contínuos.

- Simulação perfeita e acoplamento aplicados a sistemas de redes de filas  

Métodos de simulação perfeita têm sido aplicados com sucesso em processos Markovianos. Desde o pioneiro trabalho de Propp e Wilson (1996) diversos autores tem escrito sobre o assunto.

Entretanto, muito pouco é conhecido sobre simulação perfeita para processos de longo alcance. No caso de processos com memória infinita  existe um método de simulação perfeita baseado em uma construção regenerativa do processo, através do qual é possível obter-se resultados teóricos importante, por exemplo  encontrar as flutuações Gaussianas de estimadores da entropia para estes processos. Este tipo de abordagem tem o mesmo sabor da construção gráfica e acoplamento de processos espaciais conhecido como o método do clan de ancestrais e  não só permite construir esquemas de simulação perfeita para diversos problemas, mas também é uma ferramenta teórica para a obtenção de propriedades dos modelos estudados como por exemplo sistemas de partículas multicores com interação de longo alcance.

XII - SLE em domnios no simplesmente conexos.

Recentemente tem sido abordado o problema de generalizar  evolução Estocástica de Loewner (SLE) a domínios  no simplesmente conexos, isto, sobre dominios planares com múltiplas conexões, e mais geralmente a qualquer superfície de Riemann.  Este projeto tem como principal objetivo estudar a relação entre diferentes estruturas presentes nos espaços modulares de superfícies de Riemann e diversas medidas com invariância conforme associadas a SLE? Em uma primeira instancia desejam ser estudadas as propriedades associadas a construo das medidas conformes propostas por W. Werner, as quais descrevem os contornos exteriores de aglomerados em percolação crítica e laços Brownianos.

XIII - Entropy estimates in ergodic processes.

As propriedades estatísticas de recorrência de Poincaré constituem um instrumento clássico pare estimar entropias em um processo ergódico. Recentemente, a noção de primeiro retorno a uma seqüência finita tem sido considerada por vários autores, incluindo membros da equipe, que provaram a relação entre o funcional de grandes desvios e a entropia métrica, a entropia de Renyi e os “ground states” dos processos.  A validade de uma lei assintótica para as flutuações (Teorema do Limite Central) é ainda desconhecida,  e trata-se de questão que será abordada a seguir.  Várias fórmulas relacionando as quantidades acima mencionadas e árvores de busca foram mostradas originalmente por Pittel (1984) e recentemente por Chauvin et al (2008). Membros da equipe vão estudar a validade destas fórmulas para árvores de contexto, geradas por cadeias de Markov de alcance variável.

Equipe Nacional: Adriano Francisco Siqueira, FAENQUIL ; Alejandro C. Frery Orgambide, UFAL; Alexandra Schmidt - DME/UFRJ; Aluísio Pinheiro UNICAMP; Andrei Toom, UFPE; Antônio Galves, USP; Ary Vasconcelos Medino UnB;; Bernardo Borges Lima, UFMG; Cátia Regina Gonçalves UnB; Chang Chung Yu Dorea UnB; Cira Etheowalda Guevara Otiniano  EST/UnB; Claudio Landim, IMPA; Cleber Bisognin UFRGS; Daniele da Silva Baratela Martins Neto (MAT/UnB;  Denise Duarte, UFMG; Domingos Marchetti, IF-USP; Eduardo Henrique de Mattos Brietzke UFRGS; Eduardo Jordao Neves, IME-USP; Fabio Prates Machado, IME-USP; Fernando Pigeard de Almeida Prado, USP, Ribeirão Preto; Florencia Leonardi - IME/USP; Francisco Cribari-Neto, UFPE; Geraldine Goes Bosco, USP-Ribeirão Preto; Glauco Valle da Silva Coelho, UFRJ; Gustavo Leonel Gilardoni Avalle  EST/UnB; Hildete Prisco Pinheiro UNICAMP; Jair Silvério dos Santos, USP-Ribeirão Preto; Jorge Carlos Lucero UnB; Jesus Garcia, IMECC-UNICAMP; Klaus Leite Pinto Vasconcelos, UFPE; Luiz Renato Fontes, IME-USP;Pablo Augusto Ferrari, IME-USP; Marcos Antonio Santos, UFMG ; Maria Eulália Vares, CBPF; Marina Vachkovskaia, IMECC-UNICAMP; Miguel Abadi, UNICAMP; Nancy Garcia, IMECC-UNICAMP;  Rafael Andres Rosales Mitrowsky, USP – Ribeirão Preto; Remy de Paiva Sanchis, UFMG; Roberto Imbuzeiro Moraes Felinto de Oliveira IMPA; Ronald Dickman, UFMG; Ronaldo Dias, IMECC-UNICAMP; Sacha Friedli, UFMG; Silvia Regina Costa Lopes, URGS; Sergio Bernardo Volchan, PUC-Rio, PUC-Rio; Serguei Popov, IME-USP; Thomas Logan Ritchie, USP; Valentin Sisko, UFF; Vladas Sidoravicius, IMPA; Vladimir Belitsky, IME-USP; Veronica Andrea Gonzalez-Lopez, UNICAMP.

Colaboradores Estrangeiros: Abel Klein, Irvine; Alain-Sol Sznitman, ETH-Zurich; Alejandro Ramirez, PUC-Chile; Alexandre Gaudillière, Roma; Errico Presutti, Roma; Enza Orlandi, Roma; Enzo Olivieri, Roma; Harry Kesten, Cornell; Herbert Spohn, TU- Munchen; Kenneth Alexander, USC; Marzio Cassandro, Roma; Pierre Picco, Marseille; Stella Brassesco, IVIC-Venezuela; Vincent Beffara, ENS-Lyon; Yuval Peres, UC Berkeley; Lorenzo Bertini (Roma; G.Jona-Lasinio, Roma; Enrique Andjel, Marseille; Amine Asselah, Marseille; Itai Benjamini, Weizmann; Francis Comets, Paris; François Dunlop, Cergy-Pontoise; Roberto Fernandez, Rouen; Ricardo Fraiman, Montevideo; Hervé Guiol, Grenoble; Roberto Hirata, USP. Bioinformática, Marco Isopi, Roma; Yoshiharu Kohayakawa, USP; Norio Konno, Yokohama; Thomas Liggett, California; Alejandro Maass, Chile; Ricardo Maronna, La Plata; Servet Martinez, Chile; Pierre Mathieu, Marseille; Mikhail Menshikov, Durham; Ernesto Mordecki, Montevideo; Thomas Mountford, Lausanne; Charles Newman, Courant Institute; Stefano Olla, Cergy Pontoise; Eugene Pechersky, Moscou; Gonzalo Perera, Montevideo; Dimitri Petritis, Rennes; Leandro Pimentel, post-doc em Lausanne; Agoston Pisztora, Pittsburgh; Khrisnamurthi Ravishankar, S.U.N.Y.; Anish Sarkar, Delhi; Jaime San Martín, Chile; Roberto Schonmann, California; Gunther Schütz, Jülich; Dan Stein, Arizona; Mariela Sued, Buenos Aires; Tomas Tetzlaff, Buenos Aires; Mario Wschebor, Montevideo; X.-Yu Wu, Beijing; A. Zamyatin, Moscou; Dominique Guegan, ENS-Cachan, Franca; Bovas Abraham, Univ. Waterloo, Canada; Wilfredo Palma, PUC, Chile. Heinrich Matzinger - Georgia Tech;  Fabio Zucca - U. Milano; Daniella Bertachi - U. Milano; Thomas Kurtz, UW-Madison; John Rice, Univ. California, Berkeley; Benedeto Scoppola -Uni Roma; Jacob van den Berg-CWI Amsterdã; Yvan Velenik- Université de Genève, Nuno Crato -ISEG, UTL, Lisboa.

Formação de Novos Pesquisadores

No que diz respeito à formação de novos pesquisadores, a equipe atua nos programas de pós-graduação de seus respectivos institutos ou universidades e tem se esforçado muito nesse ponto, contando com um grupo considerável de estudantes envolvidos no doutoramento e no mestrado, listados a seguir.  Há falta de professores nas áreas de Probabilidade e Estatística, principalmente nas diversas instituições federais e estaduais localizadas nas regiões Norte e Nordeste do País.

 USP: O programa de doutorado em estatística formou em média, nos últimos 7 anos, 16 mestrados e 11  doutorados. Nos últimos 18 meses formaram-se 42 mestrados e 23 doutorados, o que pode ser um indicio que a média anual  aumentou um pouco, principalmente no mestrado. A projeção para os próximos 3 anos seria de manter a media de 10-15 doutores e 20-25 mestres ao ano.

UNICAMP: O programa de mestrado formou em 2007, 5 mestres em Estatística, em 2008 ate o momento 3 mestres. O programa de doutorado iniciou-se em 2006 e deve formar 5 doutores nos próximos 2 anos. A projeção de formação de recursos humanos dos membros deste projeto para os próximos 3 anos e de 5 alunos de IC, 5 alunos de mestrado e 4 alunos de doutorado. Para os anos seguintes espera-se um aumento na formação de doutores estabilizando-se em 5 mestres e 5 doutores formados por ano.

IMPA: Nos últimos dois anos, o programa formou três doutores e cinco mestres.  Estimativa de formação de doutores para os próximos tres anos: 11 novos doutores, 6 mestres;

UFPE: Nos próximos 3 anos a projeção e de 2 alunos de IC, 3 alunos de mestrado e 3 alunos de doutorado.

UFMG: Estimativa do número de estudantes orientados para os próximos 3 e 5 anos, respectivamente: IC :14 e 18, Mestrado: 9 e 12, Doutorado: 2 e 3.

UNB: Projeção para 3anos/5anos:

Titulação nos próximos 3 anos :  6 mestres e 5 doutores

Necessidades de bolsas para os próximos 5 anos : 2 bolsas de IC; 4 bolsas de Mestrado; 4 bolsas de Doutorado; 2 de Pós-Doutorado.

UFRGS: Projeção para os próximos 3 anos:

Mestrados: 12

Doutorados: 6

UFRJ: Previsão de alunos em probabilidade entre 2008 e 2011: 1 doutorado, um mestrado, 3 iniciação cientifica.

UFF: 3 projetos de iniciação cientifica nos próximos 3 anos.

Plano de atividades

  • Realização da Escola Brasileira de Probabilidade, que acontece anualmente. No próximo ano, teremos a 13a. EBP, em São Paulo.
  • Em 2010, a EBP terá sua 14a. edição ocorrendo conjuntamente com a última semana da Escola de Probabilidade do Instituto Clay, no Rio de Janeiro.

 

Clay Mathematics Institute School on Probability  Julho 11 – Agosto 6, 2010

Terá a duraçào de 27 dias.

Em 2011, a 15ª. Edição da EBP terá lugar no Rio de Janeiro.

A Escola Brasileira de Probabilidade permite também uma importante interação dos jovens estudantes e pesquisadores com pesquisadores experientes que atuam em outros campos da probabilidade. Destaca-se também uma forte interação com a física-matematica. Gostaríamos de poder trazer jovens pesquisadores e alunos de doutorado de países latino-americanos para se beneficiarem dos cursos, palestras e discussões. Outros grupos deste projeto, além do diretamente envolvido nas atividades de pesquisa acima descritas, participam dessa atividade, como por exemplo pesquisadores ligados a controle estocástico e física estatística.

Workshop em modelagem estocástica a cada dois anos. Em agosto de 2008 acontece a primeiro workshop em modelagem estocástica no Departamento de Física e Matemática da USP – Ribeirão Preto com a participação de diversos convidados do Brasil e do exterior.  4ª. 11 Escola de Modelos de Regressão no período de 01 a 03 de marco de 2009 em Recife.

Visitas de curta duração, para desenvolvimento das pesquisas propostas. Uma atividade a ser contemplada neste projeto é o possibilidade de visitas de curta e média duração  dos jovens pesquisadores e pos-doc's para trabalhos de pesquisa conjunta com os colaboradores estrangeiros. Também  através de cursos, minicursos e escolas temáticas, a visita dos colaboradores estrangeiros possibilitariam desenvolver e reforçar os programas de pós-graduação das diversas instituições, bem como de grupos de pesquisa incipientes. Por outro lado, a vinda de pos-doc's estrangeiros para trabalharem com pesquisadores nacionais traria um grande benefício em termos de desenvolvimento da probabilidade e da interação.

Seminários e minicursos nas várias instituições dos membros da equipe, bem como em centros menores, conferências de divulgação para alunos de graduação. Atividades (seminários, colóquios, oficinas) envolvendo diversas instituições.

A realização dos Encontros Regionais em Probabilidade e Estatistica Matematica, que se realizam anualmente. Estes encontros tiveram lugar nos últimos três anos, sendo atividades organizada pelo CENRE (Centro Regional de Probabilidad y Estadística Matemática), conjuntamente com o Centro de Matemática de la Facultad de Ciencias de la Universidad de la República, a Universidad de San Andrés, o Núcleo de Modelagem Estocástica e Complexidade da USP e o Instituto do Milênio para o Avanço Global da Matemática (IM-AGIMB), com os objetivos de: promover o desenvolvimento da area de probabilidade e estatística matemática mediante o desenvolvimento académico entre  especialistas da região; estimular a interação entre os diferentes grupos de pesquisa do  Brasil, Chile, Uruguai e Argentina; e contribuir ao contato de estudantes de pós graduação avançados com temas de pesquisa desenvolvidos na região.

Participação no Congresso Latino Americano de Probabilidade e Estatística Matemática, a ter lugar na Venezuela, em novembro de 2009. 

Atividades de orientação de pos doutoramento.