INSTITUTO NACIONAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATEMÁTICA

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Algebra e Geometria Algébrica Sistemas Dinâmicos Geometria Diferencial Equações Diferenciais Parciais Probabilidade Física-Matemática e Geometria Simplética Topologia e Singularidade Matemática do Petróleo: recuperação avançada, em águas profundas, de danos ambientais e prevenção de mudanças climáticas. Modelagem Ambiental Economia Matemática Lingüística Probabilística Otimização Continua Computação Visual Modelagem de Fenômenos Biofísicos Combinatória e Algoritmos Ensino de Matemática Olimpíadas Brasileira de Matemática Cooperação com América Latina

SISTEMAS DINÂMICOS 2009 2010 A teoria de Sistemas Dinâmicos se presta a modelar fenômenos que apresentam uma evolução determinística que ocorrem em várias áreas da Ciência tais como Física, Ecologia, Metereologia, Biologia, Economia, etc. A lei de evolução pode assumir diversas formas: iteração, equações diferenciais ordinárias, equações a derivadas parciais, transformações e fluxos estocásticos. O objetivo é prever a evolução do sistema, principalmente a longo prazo, e para isso são usadas ferramentas de diversas áreas da Matemática tais como Geometria Diferencial, Análise, Álgebra, Topologia, e Probabilidade. A teoria surgiu com os trabalhos de Poincaré relacionados com Mecânica Celeste no final do século 19 seguido dos trabalhos de Birkhoff nos anos 20 do século passado. Também nessa mesma época nascia, independentemente, a dinâmica unidimensional com os trabalhos de Fatou e Julia sobre a iteração de polinômios complexos e funções racionais. É também do século 19 a origem do estudo das equações diferenciais com tempo complexo cujas soluções descrevem folheações com singularidades no espaço projetivo. A existência de uma classe ampla de sistemas dinâmicos que, apesar de seu caráter determinístico apresentava características estocásticas já havia sido observada em 1947 por Von Neuman e Ulan no contexto de dinâmica unidimensional. Nos anos 60 esse fenômeno foi estudado através dos sistemas hiperbólicos que exibiam essas características de maneira robusta.  Posteriormente, importantes sistemas dinâmicos não hiperbólicos tais como o atrator de Lorenz e o atrator de Hénon também exibiam dinâmica caótica que não desaparecia para a maioria das perturbações.  Para analisá-los foi necessário ampliar a noção de hiperbolicidade para hiperbolicidade não uniforme e introduzir técnicas de análise harmônica, teoria ergódica e teoria das bifurcações. Nos anos 90, Palis, buscando caracterizar comportamento típico das trajetórias a longo prazo, formulou a seguinte conjectura: Todo sistema dinâmico pode ser aproximado por outro que tem apenas um número finito de atratores cujas bacias de atração contêm quase todo ponto. Para tais sistemas com número finito de atratores, existem medidas físicas de probabilidade que descrevem o comportamento estatístico de quase todo ponto na bacia. A conjectura também diz que tais sistemas são típicos quando considera-se famílias parametrizadas de sistemas dinâmicos. Trabalhos realizados por membros do grupo confirmam a veracidade dessa proposta em casos especiais relevantes. A dinâmica de endomorfismos em dimensão um, tanto real quanto complexa, é muito rica e, como descobriu Feigenbaum no final dos anos 70, apresenta fenômenos de rigidez e universalidade surpreendentes.  Por outro lado em dimensão um existem técnicas de análise real e complexa muito poderosas, o que permitiu um desenvolvimento intenso da teoria nos últimos 25 anos.  Já podemos vislumbrar um panorama bastante completo para a teoria embora ainda haja vários problemas fundamentais em aberto que serão abordados pelos pesquisadores do grupo.  Técnicas unidimensionais são também úteis para analisar sistemas dinâmicos em dimensão mais alta como os atratores de Lorenz e de Henon. Os sistemas diferenciais complexos são abordados, atualmente, através de métodos da Teoria Geométrica de Folheações, que é uma sub-área da Matemática localizada na confluência de vários domínios: Geometria Diferencial, Topologia, Sistemas Dinâmicos, Análise Complexa, Geometria Analítica e Geometria Algébrica. Essa peculiaridade lhe permite usufruir de resultados desses domínios, que possibilitam progressos nessa área, bem como também contribuir, através de seus próprios resultados, na melhor compreensão e na obtenção de resultados inéditos nesses. Em linhas gerais, os temas centrais atualmente considerados pelos pesquisadores brasileiros e seus colaboradores, em folheações, se voltam às seguintes grandes questões: O estudo de centros analíticos reais e complexos no plano, folheações de Bott-Morse, geometria de espaços de folheações projetivas, uniformização das folhas de folheações holomorfas de dimensão um, caracterização de folheações projetivas através de seus conjuntos singulares, ações holomorfas em espaços complexos, dinâmica holomorfa transversa, teoria de webs (teias) e relações abelianas, folheações modulares. Em todos esses problemas fica patente a interface com os domínios citados acima, onde métodos geométrico-algébricos são utilizados intensivamente.   O estudo das propriedades dos sistemas conservativos é um tópico clássico em Matemática. Nos últimos vinte e cinco anos grandes progressos foram obtidos nas questões que envolvem a Teoria de Aubry-Mather, aplicações tipo twist, bilhares, transformações simpléticas, teoremas tipo KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) e a dinâmica de fluxos geodésicos, dentre outras. Muitas questões de grande relevância e complexidade ainda subsistem nesta área e a sua análise é o objetivo de um grupo de pesquisadores do projeto.  Estas questões envolvem tópicos variacionais, ergódicos e topológicos.   O estudo de cociclos a valores em SL(2,R) é diretamente relacionado com a teoria espectral de operadores de Schrödinger unidimensionais com potenciais dinamicamente definidos.  Uma subclasse importante, por sua motivação física, é a dos cociclos quasiperiódicos.  Métodos dinâmicos se mostraram extremamente eficientes na análise do operador quase Mathieu, o exemplo mais importante de operador de Schrödinger quasiperiódico, introduzido por Peierls nos anos 1930 e ligado nos anos 1980 com a teoria do efeito de Hall quântico, que é amplamente estudado na Física-Matemática. Em particular, o uso de sistemas dinâmicos foi fundamental na solução recente de três problemas destacados da literatura de Física-Matemática, conhecido como problemas de Barry Simon sobre operadores de Schrödinger para o século 21.     Tópicos de Pesquisa As principais linhas de pesquisa cobrem diversos temas da dinâmica caótica, teoria ergódica, teoria das bifurcações, dinâmica unidimensional, folheações complexas, teoria qualitativa das equações diferenciais, equações da geometria clássica, sistemas conservativos. Tópicos correlatos, como sistemas integráveis e geometria simplética, encontram-se na área de Física-Matemática deste Projeto. O grupo de Sistemas Dinâmicos mantém intensa colaboração com pesquisadores em diversos países e tem forte presença internacional. Uma importante prioridade do grupo é a formação de recursos humanos através de programas de doutorado e pós-doutorado com o objetivo de formar jovens pesquisadores  de várias regiões do Brasil e da América Latina.  O grupo pretende formar 30-35 novos doutores e promover um intenso intercâmbio científico através de 6 workshops e pelo menos duas grandes conferências internacionais. Mencionamos abaixo alguns dos tópicos específicos de pesquisa que deverão ser abordados na execução do projeto.   1.       Sistemas Dinâmicos Dissipativos. Teoria Ergódica de Sistemas não Uniformemente Hiperbólicos Existência, unicidade e propriedades ergódicas dos estados de equilíbrio Dimensões fractais de repulsores não-uniformemente hiperbólicos. Construção de medidas físicas/absolutamente contínuas para aplicações não uniformemente hiperbólicas, sua estabilidade sob perturbação e suas propriedades estatísticas. Fluxos:  hiperbolicidade singular, persistência, decomposição espectral, propriedades genéricas.  Aspectos ergódicos, decaimento de correlações, teorema do limite central. Ciclos e bifurcações. Estudo das dinâmicas típicas que aparecem no desdobramento de tangências homoclínicas e de ciclos bi e heterodimensionais. Expoentes de Lyapunov. Abundância de expoentes de Lyapunov nulos. Prevalência de expoentes de Lyapunov não nulos. Cociclos não lineares. Dinâmica no espaço de módulos e transformações de intercâmbio de intervalos. 1.       Fluxo de Teichmüller. Espectro de Lyapunov no espaço de diferenciais quadrátics. 2.       Ação de SL(2,R).  Lacuna espectral para medidas de Masur-Veech e medidas algébricas mais gerais. Transformações de intercâmbio de intervalo e fluxo de Teichmüller.  Espectro de Lyapunov do fluxo de Teichmüller no espaço das diferenciais quadráticas. Relação entre dimensões fractais e o desdobramento de bifurcações homoclínicas em dimensão arbitrária.  2.       Dinâmica Unidimensional e Extensões a Outras Dimensões. Existência e hiperbolicidade dos pontos periódicos para o operador de renormalização agindo no espaço das transformações de Lorenz contrativas. Contração exponencial do operador de renormalizacao no espaço das transformações críticas do círculo e consequente rigidez tanto no espaço de parâmetros quanto no espaço de fase. Hiperbolicidade do operador de renormalização no espaço de aplicações unicríticas reais em grau superior. Encontrar famílias parametrizadas de endomorfismos do círculo que sejam completas no sentido de conter todas as possíveis combinatórias. Renormalização de transformações tipo Henon. Propriedades estatísticas de famílias típicas de transformações do intervalo. Dimensões fractais de conjuntos de parâmetros excepcionais em famílias analíticas de funções unimodais. Teoria de Teichmüller e suas aplicações à dinâmica em baixas dimensões. Aspectos combinatórios da dinâmica de difeomorfismos em superfícies e conjectura de Cvitanovic .  3.       Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais e das Equações da Geometria Clássica Estabilidade assintótica global dos campos de vetores de Rn Fluxos em superfícies e transformações de intercâmbio de intervalos Estudo dos pontos umbílicos e suas bifurcações Decomposição focal em variedades Riemannianas e sua estabilidade. Função de Landau-Ramanujan e fórmula de Mañe sobre entropia do fluxo geodésico.  4.       Sistemas Dinâmicos Conservativos: Propriedades Ergódicas, Variacionais e Topológicas Sistemas lagrangianos, fluxos geodésicos . Propriedades ergódicas, topológicas, existência de órbitas fechadas. Teoria de Aubry-Mather. Homologia simplética e o valor crítico de Mane. Fluxos magnéticos, holomologia simplética de subníveis de energia. Existência de órbitas periódicas em níveis de energia de fluxos magnéticos exatos sobre superfícies.  Métodos variacionais. Sistemas hamiltonianos com dois graus de liberdade, aplicações de tipo twist, fluxos de contato. Bilhares com fronteira dependendo do tempo e bilhares convexos. Métodos computacionais. Teoria perturbativa  ( Kolmogorov-Arnold-Moser).  Difusão de Arnold. Otimização ergódica. Teoria do transporte em teoria ergódica. Teoria dos jogos ergódicos. Problemas ergódicos em mecânica quântica. Folheações e rigidez geométrica, gráficos lagrangianos e teorema de Birkhoff.  5. Folheações  Holomorfas e Sistemas Dinâmicos Complexos Uniformização e topologia das folhas de uma folheação complexa de dimensão um. Componentes irredutíveis do espaço de folheações holomorfas de codimensão um de CP(n), n ³ 3. Centros  analíticos  reais  e complexos no  plano. Determinação do posto genérico da aplicação “auto-valor” para folheações por curvas em CP(n), n³2. Singularidades de hipersuperfícies Levi-Flat. Dinâmica Holomorfa Transversal a Subvariedades reais. Folheações de Bott-Morse. Ações holomorfas em espaços analíticos. Webs Excepcionais em Superfícies Projetivas. Variedades de Ressonância de Arranjos de Hiperplanos. Webs associadas aos Arranjos de Hiperplanos. Folheações invariantes por Aplicações Racionais. Folheações Modulares. Determinação de folheações através de seus conjuntos singulares. Estudo de folheações globais tangentes a uma subvariedade compacta ou regulares numa vizinhança dela. Moduli de folheações holomorfas.  6. Cociclos SL(2,R) e aplicações à equação de Schrödinger Cociclos quasiperiódicos com uma freqüência.                                                                                                                                                                                                                                    1.       Desenvolvimento de uma teoria perturbativa KAM garantindo a existência de conjugações às rotações, sem restrições aritméticas sobre a freqüência.                                        2.       Desenvolvimento de uma teoria não perturbativa (via análise complexa e em particular o Teorema da Corona) garantindo a existência de quase-conjugações às constantes. Aplicações ao estudo da parte absolutamente contínua de operadores de Schrödinger quasiperiódicos (sem restrições sobre as freqüências).                                                             1.       Estudo da regularidade de soluções, incluindo a ``conjectura de Schrödinger´´ de limitação quase certa das matrizes de transferência.                                                        2.       Continuidade absoluta das medidas espectrais para pequenos potenciais analíticos. Operadores de Schrödinger estritamente ergódicos, em particular recíproca genérica do teorema de classificação das lacunas do espectro. Matrizes de Jacobi ergódicas.  Distribuição local dos valores próprios na parte absolutamente contínua do espectro. Monóides e grupos finitamente geradoes e uniformemente hiperbólicos em SL(2,R). Equipe de Pesquisadores: IMPA - A. Avila, C. Camacho, A. Lins Neto, C. Matheus, W. de Melo, C. G. Moreira, H. Movasati, J. Palis, M. Peixoto , J.V. Pereira , E. Pujals, P. Sad, M. Viana. PUC-Rio -  F. Abdenur, J. Bochi, L.J. Diaz,  R. O. Ruggiero,  N. Saldanha, C. Tomei. UFRJ -  V. Araújo, A., Arbieto, L. Macarini, C. Morales, M. J. Pacifico, B. Scárdua, UFF -  S. Firmo,   I. L.  Rios. UFMG-  M.J. Dias Carneiro, S. P. de Carvalho,  F. F. de Oliveira,   S. M. O. K. L. da Silva,   M. Soares; I. Vainsencher UFRGS-   A. Lopes, L.G. Mendes,   M. Sebastiani. UFBA- A. Castro, V. Pinheiro, UFAL- K. Oliveira, UFSC-  R. Exel UFG-  R. Garcia USP-SP-  F. Armando,  A. de Carvalho,   E. de Faria,  J. Sotomayor, C. G. Ragazzo, E. Vargas, S. A . Zanata, P. A. S. Salomão, USP-SC-  C. Gutierrez,  D. Smania, A. Tahzibi UNESP-Rio Preto -  C. A. Buzzi,  V. Horita UNICAMP-   K. A de Rezende,  M. A. Teixeira  Colaboradores Nacionais e Pós-doutorando: F. Brochero (UFMG);  M. Cobo , UFES; M. Garcia, USP-SP; E. Garibaldi (UNICAMP),P. Hazard, USP-SP;  J.R. Herguedas (UFF); A. Kocsard (UFF), A. Koropecki (UFF); S.M. Licanic (UFF); G.C. Mendlewicz (UFF); L.F.O. Mello ( UF-Itajubá); J. A. G. Miranda(UFMG); R. Mol (UFMG); E. R. Oliveira(UFPel);  C. G. Pessoa (USP-SP); A. Baraviera (UFRGS); J. Mohr (UFRGS); F. M. Saghin , (USP-SP);  R. R. Souza (UFRGS); L.F. Rocha (UFRGS).   Colaboradores Estrangeiros: J.M. Aroca (Univ. Valladolid); R. Bamon, (Chile); J-P. Brasselet (IML-França);  F. Cano (Univ. Valladolid); G. Contreras, (México); D. Cerveau (Reenes); S. Crovisier, (Paris); D. Damanik, (Rice); G. Forni, (Maryland); C. Frave ( Paris); L. Gatto (Torino);X. Gomez-Mont, (México); R. Iturriaga, (México); R. Krikorian, (Paris); S. Jitomirskaya, (Califórnia);  R. Labarca, (Chile);  C. Liverani, (Roma); J. Llibre, (Barcelona);A. Majda, (Courant); D. Marin (Univ. Barcelona); R. Markarian, (Uruguai); L. Mora, (Venezuela); J. Rivera-Letelier, (Chile); F. Rodriguez-Hertz, (Uruguai); A. Rovella, (Uruguai); R. Roussarie, (Dijon); M. Sambarino, (Uruguai); J. Seade, (México);  R. Ures, (Uruguai);  A. Verjovsky, (México); J. Vieitez, (Uruguai); J. Alves, (Porto); M. Benedicks, (KTH); C. Bonatti, (Dijon); M. Brunella, (Dijon); A. Fathi, (ENS-Lyon); E. Ghys, (ENS-Lyon); I. Kupka, U. (Paris); M. Lyubich, (SUNY-Stony Brook); S. Luzzato, (Imperial College); S. Marmi, (Pisa); M. Martens, (SUNY-Stony Brook); C. McMullen, (Harvard), Fields Medal 1998; R. Moussu, (Dijon); A.A.  Pinto, (Braga); C. Pugh, (Toronto); L. Pirio (Rennes);B. Simon, (Caltech); T. Suwa (Niigata, Japão); S. Van Strien, (U. Warwick); G. Swiatek, (Penn State); P. Thieullen, (Bordeaux); L. Wen (Peking);  A. Wilkinson, Northwestern U. Novos Pesquisadores Esperamos formar 30-35 novos doutores nos diversos ramos de sistemas dinâmicos no período de 5 anos do projeto, sob a supervisão de membros do Projeto. Deveremos dispor de bolsas de Pós-Doutorado para estimular os novos pesquisadores e facilitar sua absorção por nossas instituições.   Plano de Atividades Planejam-se 6 workshops/escolas de porte médio para o período 2009-2013, organizados por diferentes centros, e 2 conferências de porte maior. A colaboração científica entre os membros do Projeto, a nível nacional e internacional, será muito intensa.