*RAINDROP*

TOPOLOGIA E SINGULARIDADES

2009

2010

As idéias da topologia estão presentes em quase todas as áreas da  Matemática. No Brasil, seu desenvolvimento ocorreu na segunda metade do século XX, tanto como área independente tanto como área relacionada com sistemas dinâmicos, geometria diferencial e estruturas holomorfas, entre outras.  A teoria de singularidades também surgiu no país no início da segunda metade do século passado, como uma subárea da topologia, a partir da iniciativa de topólogos pioneiros entusiasmados com os resultados de Hassler Whitney e René Thom sobre a estabilidade de aplicações diferenciáveis entre variedades.

Atualmente, há um amplo espectro de possibilidades de interação entre estas duas áreas, e a colaboração entre as equipes é principalmente esperada no desenvolvimento das seguintes linhas de pesquisa:

  • Topologia de espaços estratificados.
  • Teoria global de singularidades. Aplicações estáveis entre variedades.

Como parte das atividades do projeto, serão realizados workshops conjuntos nestas linhas de pesquisa, proporcionando a colaboração dos pesquisadores em temas de interesse comuns.   

Topologia

A topologia diferencial e algébrica foi um dos campos que mais se desenvolveu durante o século XX. Na atualidade, a expectativa para a área é de um novo ciclo importante de desenvolvimento,  conseqüência das novas técnicas em geometria e novos resultados da topologia decorrentes da prova de Perelman para a conjectura de Poincaré. No Brasil, a topologia é um campo ativo, com várias vertentes: variedades de dimensão 3 e 4, teoria das folheações,  singularidades,  ações de grupo e folheações,  teoria equivariante, teoria de nós,  métodos homotópicos em sistemas dinâmicos e outras aplicações da teoria. Há pesquisadores e grupos de pesquisa da topologia localizados em vários campus da USP, Unesp, Unicamp e UFSCar no Estado de São Paulo, na PUC-Rio e na UFF no Estado do Rio de Janeiro, e alguns pesquisadores em outros estados, como na UFMG, UFJF, UFES, UFV, UFSC.  A integração entre esses pesquisadores e grupos é meta prioritária. Abaixo estão listados tópicos de pesquisa sendo desenvolvidos e um sumário onde somente os pesquisadores principais são indicados em alguns projetos.

Pesquisadores Principais de topologia: Carlos Biasi (ICMC-USP),  Lucilia Daruiz Borsari (IME-USP), Fernanda S.P. Cardona (IME-USP), Leonardo Carvalho (UFF), Sebastião Firmo (UFF), Daciberg Lima Gonçalves (IME-USP), Paulo Gusmão (UFF), Derek Hacon (PUC-Rio), Oziride Manzoli Neto (ICMC-USP), Pedro Pergher (UFSCar),  Ketty Abaroa de Rezende (UNICAMP), Rafael Oswaldo Ruggiero (PUC-Rio),  Nicolau Saldanha (PUC-Rio), Luiz San Martin (UNICAMP), Nathan Moreira dos Santos (UFF), Paul Schweitzer  (PUC-Rio), Mauro Spreafico (ICMC-USP).        

Projetos de Pesquisa em Topologia

1. Ponto Fixo e Coincidência

Extensão da teoria de Nielsen de coincidência para complexos simpliciais; o cálculo de índices de classes de Nielsen para solv-variedades, infranil-variedades e infrasolv-variedades; uma teoria de coincidência equivariante; versões relativas da teoria de Reidemeister aplicadas a espaços do tipo Jiang e a fibrações entre espaços tipo Jiang; o cálculo do número mínimo de coincidências com a função constante para funções entre superfícies. Teoria de coincidência em codimensão positiva.

Teoria de coincidência de aplicações entre fibrados. Grupos com a propriedade R-infinito.

Equipe Nacional: D.L. Gonçalves, D. Penteado, T.E. Barros, F.S.P. Cardona, J. Peres Vieira, L.D. Borsari, P.L. Fagundes, Claudemir Aniz, D. Vendrusculo e Aldemir J.S. Pinto.

Colaboradores Estrangeiros: P. Wong (Bates College), Zhao (Univ. de Peking), Ulrich Koschorke (Univ. Siegen), M. Kelly (Loyola University, New Orleans), Duane Randall (Loyola University, New Orleans), R. F. Brown (UCLA), Alexander Fel'shtyn (Polonia), Collin Bleak (SUNY, Binghampton), Jennifer Taback (Bowdoin).

2. Topologia das Variedades, Bordismo e Homotopia, span(M)

Estudo de questões de existência e classificação de imersões e de mergulhos de variedades, inclusive a teoria de nós e enlaçamentos; span(M); bordismo ambiental; enlaçamento de intervalos. Problemas sobre extensão de funções via teoria de obstrução.

Equipe Nacional: C. Biasi, A. K. Libardi, P. Pergher, K. Rezende, R. Cruz, O. Manzoli Neto, S. Massago, C.A. Maquera, D.L.Gonçalves, Mario Olivero Marques da Silva (UFF), Nancy Cardim UFF), Maria Hermínia Leite Mello (UERJ)..

Colaboradores Estrangeiros: Stanislaw Spiez, O. Saeki, U. Koschorke, P. Zvengrowski, J.M. Montesinos, W. Mio, D. Randall, K. Mischaikow, D. Sullivan, F. Tari, Vaughan Jones (Fields Medal 1990).

3. Bordismo Equivariante, Teoria de G-Coincidência (resultados do tipo Borsuk-Ulam) e Cohomologia de Grupos

Classificação a menos de cobordismo equivariante de ações de grupos em variedades fechadas com conjuntos de pontos fixos pre-fixados, limitantes para a dimensão de variedades com involução com determinados conjuntos de pontos fixos, Teoremas tipo Borsuk-Ulam envolvendo espaços e ações gerais, estudo de ends na cohomologia de grupos.

Equipe Nacional: P. Pergher, Edivaldo L. dos Santos, Denise de Mattos, O. Manzoli Neto, Mauro Spreafico, Daciberg L. Gonçalves, Erminia de Lourdes Campello Fanti, Maria Gorete Carrera Andrade, Tomas Edson Barros, Daniel Vendruscolo.

Colaboradores Estrangeiros: J. Jaworowski (Indiana U.), Claude Hayat (Universite Paul Sabatier-Toulouse), Peter Zvengrowski (Calgary), Anne Bauval (Universite Paul Sabatier-Toulouse), A. Yu. Volovikov.

4. Folheações, laminações, ações, difeomorfismos e estruturas de contato.

Estudamos vários problemas na teoria das folheações, tais como: a existência de componentes de Reeb detectadas por ciclos evanescentes; estrutura de componentes de Reeb; variedades abertas que não se realizam como folhas; estruturas de contato próximas a folheações; difeomorfismos e ações que preservam folheações; folheações em 3-variedades; folheações em 4-variedades cujas folhas têm uma geometria modelo de Thurston; realização de campos vetoriais como curvatura média das folhas; extensão da classificação de difeomorfismos de superfícies por Thurston a difeomorfismos de 3-variedades usando laminações; estabilidade de órbitas compactas de ações localmente livres de R^k; enlaçamento assintótico de ações de R^k entre si e com folheações (generalizando resultados de Arnol’d).

Equipe Nacional: P. Schweitzer (PUC-Rio), N.C. Saldanha (PUC-Rio), S. Firmo (UFF), P. Gusmão (UFF), Leonardo Carvalho (UFF), Carlos A. Maquera Apaza (ICMC-USP), J.L. Lizarbe Chira (UFF, Volta Redonda).

Colaboradores Estrangeiros: D. Randall (Univ. Loyola, New Orleans), F. Alcalde (Univ. de Santiago de Compostela), G. Hector (Univ. de Lyon), P. Walczak (Univ. de Lodz, Polônia), G. Meigniez (Univ. Bretagne Sul), Ulrich Oertel (Univ. Rutgers).

3.       Rigidez e diferenciabilidade de folheações invariantes.

Usando resultados importantes sobre gráficos lagrangeanos devidos a R. Mañé e a teoria das folheações de codimensão 1, mostramos em conjunto com J. Barbosa que fluxos magnéticos em superfícies que preservam folheações suficientemente regulares de codimensão 1 tem força de Lorentz e curvatura constantes. Nosso objetivo a curto prazo é estudar problemas de rigidez para métricas de Finsler, conjunto de métricas relevante para sistemas físicos dado que todo fluxo de Euler-Lagrange em um nível de energia supercrítico é o fluxo geodésico de uma tal métrica.

Equipe Nacional: R. Ruggiero (PUC-Rio), J. Barbosa Gomes (UFJF).

Colaboradores Estrangeiros: Albert Fathi (ENS de Lyon), Etienne Ghys, (ENS de Lyon), Gonzalo Contreras (CIMAT, México), Gabriel Paternain (Univ. Cambridge).

6. Topologia e Homotopia dos Fibrados e Grupos de Gauge

Estudo da homologia do grupo de gauge de um fibrado unitário sobre uma variedade de dimensão quatro e de espaços topológicos associados; estudo da enumeração dos fibrados projetivamente equivalentes.

Equipe Nacional: M. Spreafico (ICMC-USP), O. Manzoli Neto (ICMC-USP), T. E. Barros (UFSCar) e A. K. M. Libardi (UNESP-RC).

Colaboradores Estrangeiros: P. Salvatore (Universidade Roma III), M. Crabb (University of Aberdeen, Escócia), P. Zvengrowski (Univ. de Calgary, Canadá), D. Randall (Univ. Loyola, New Orleans).

7. Métodos Homotópicos  em Sistemas Dinâmicos

 

Utilização de seqüências espectrais no estudo do complexo de Morse via matrizes de conexão para estudar a dinâmica, refinando o estudo das variedades estáveis e instáveis; utilização também de invariantes combinatórias dos grafos de Lyapunov; ampliação da teoria clássica de Conley definida para fluxos contínuos em regiões compactas a fluxos não contínuos e a regiões não compactas; ações de grupos em fibrados utilizando a teoria de índice de Conley. Na teoria de Lie, tendo em vista aplicações a sistemas dinâmicos que evoluem em espaços homogêneos ou fibrados,  o estudo da questão de transitividade por cadeias para fluxos, considerando variedades estáveis, recorrência por cadeias num esquema topológico e a descrição das componentes de Morse nesse contexto.

Equipe Nacional: Ketty A. Rezende (IMECC - Unicamp), Luiz San Martin (IMECC - Unicamp), Mariana Silveira (UNICAMP), Margarida Mello (UNICAMP), Oziride Manzoli Neto (ICMC-USP), Carlos Biasi (ICMC-USP).

Colaboradores Estrangeiros: Octav Cornea (Univ. de Montreal), Christian Bonatti (Univ. de Bourgogne, Dijon) e Gioia Vago (Univ. de Bourgogne, Dijon), Maria Alice Bertolim (Univ. Salzburg), V. Grines (Univ. Lomonosov, Moscow, Rússia).

8. Aplicações e Difeomorfismos de Superfícies

Classificação de aplicações tipo ‘fold’ de superfícies no plano (e na esfera) usando o grafo associado e a configuração das imagens das curvas críticas no plano. Estudo da existência de pontos fixos comuns para certos subgrupos do grupo de difeomorfismos de uma superfície fechada M^2; estudo da topologia do espaço de curvas convexas na esfera S^2.

Equipe Nacional: D. Hacon (PUC-Rio), Catarina M. de Jesus (UFV), N.C. Saldanha (PUC-Rio), S. Druck (UFF), S. Firmo (UFF), Carlos A. Maquera Apaza (ICMC-USP) e M.S.O. Pereira (UFF).

Colaboradora Estrangeira: M.C. Romero Fuster (Univ. de Valencia).

9. Grupos de Tranças e Revestimentos

Estudo da estrutura do grupo de tranças das superfícies compactas. Aspectos do tipo séries centrais, subgrupos (em especial os finitos e virtualmente finitos), cisão de seqüências exatas curtas tipo Fadell-Neuwirth. Estudo de revestimentos ramificados com relação à propriedade de decomposição para superfícies compactas e o estudo de revestimentos ramificados para uma superfície qualquer.

Equipe Nacional: Daciberg Gonçalves, Natalia V. Bedoya.

Colaboradores Estrangeiros: John Guaschi (Université de Caen-Basse Normandie), Patrick Dehornoy (Université de Caen-Basse Normandie), Dale Rolfsen (University of Vancouver).

Plano de Atividades

  • atuar no sentido de obter avanços significativos nos projetos de pesquisa propostos;
  • incentivar e realizar contatos entre pesquisadores brasileiros de diversas instituições, e intercâmbio entre instituições brasileiras e com instituições do exterior;
  • receber visitas dos seguintes pesquisadores do exterior para  colaboração em pesquisa:

Stanislaw Spiez (UFSCar e ICMC-USP), John Guaschi (IME-USP, 2 visitas), Ulrich Oertel (UFF, 2 visitas), Ulrich Koschorke (IME-USP e UFF), Gilbert Hector (PUC-Rio), Hiroshi Kodama (PUC-Rio), Yoshihiko Mitsumatsu (PUC-Rio e UFF), Shigenori Matsumoto (PUC-Rio e UFF), Takashi Tsuboi (PUC-Rio), Duane Randall (UFF, PUC-Rio e IME-USP, 2 visitas), Maria del Carmen Romero Fuster (PUC-Rio e São Carlos, 2 visitas), M. Kelly (IME-USP), Peter Wong (IME-USP, 2 visitas), Peter Zvengrowski (IME-USP), Octav Cornea (Unicamp), Christian Bonatti (Unicamp, PUC-Rio, IMPA), Gioia Vago (Unicamp), V. Grines (Unicamp), O. Saeki (ICMC-USP), P. Walczak (PUC-Rio), Patrick Dehornoy (IME-USP), Dale Rolfsen (IME-USP), e outros a serem agendados.

Obs. Os professores estrangeiros visitantes deverão fazer visitas e colaboração em pesquisa em outras instituições brasileiras durante a sua estadia, assim contribuindo à integração dos grupos.

  •    Organizar congressos, encontros e workshops:
  1. XVII e XVIII Encontro Brasileiro de Topologia em julho/agosto de 2010 e 2012
  2. Jornadas de Topologia na UFF em fevereiro de 2009, 2010, 2011, 2012, 2013;
  3. Encontros Regionais de Topologia em São Paulo em 2009 e 2011;
  4. Encontro Internacional de Topologia, Geometria e Dinâmica na PUC-Rio em janeiro de 2012; e
  5. Seminários de Topologia avulsos;
  •  incentivar a formação de jovens através de projetos de Iniciação Científica;
  • estimular jovens pesquisadores através de bolsas, estágios de pós-doutorado em centros altamente reconhecidos e posições com tempo adequado para o seu trabalho de pesquisa.

 Metas

  • formar novos pesquisadores e a atrair jovens talentosos para a pesquisa;
  • obter avanços significativos nos projetos de pesquisa propostos, com publicação dos resultados em revistas internacionais de boa qualidade;
  • fortalecer os grupos de pesquisadores de topologia existentes no país, aumentando a interação entre eles e o intercâmbio com pesquisadores estrangeiros importantes;
  • facilitar a participação dos pesquisadores em congressos no país e no exterior;
  • adquirir equipamentos computacionais e material bibliográfico onde for necessário.

 Avanços Esperados

  • formar 20-25 doutores;
  • formar 45 mestres;
  • realizar estágios de 9 pós-doutores;
  • desenvolver 30 projetos de Iniciação Científica;
  • receber visitas de 40 pesquisadores estrangeiros colaborando com brasileiros;
  • realizar 30 viagens de colaboração em pesquisa de pesquisadores brasileiros ao exterior;
  • realizar 35 intercâmbios de pesquisadores entre instituições brasileiras;
  • organizar 5 congressos e 5 workshops especializados, além de seminários avulsos, na área da topologia.

SINGULARIDADES

A teoria das singularidades é uma área de pesquisa ampla com fronteiras vagas. O tema central é o estudo da geometria e da topologia de espaços e aplicações polinomiais e analíticas que não são regulares. A teoria usa técnicas de vários ramos da matemática e contribui no desenvolvimento de áreas dentro e fora da matemática, tais como a geometria diferencial e algébrica, sistemas dinâmicos, teoria de nós, ótica e robótica.

Os principais problemas da área atualmente emergem da proposta de desenvolver a teoria  de singularidades de aplicações, campos vetoriais e formas diferenciais,   em conjuntos estratificados reais e complexos. 

A atuação do grupo de singularidades no Brasil tem contribuído para o desenvolvimento de princípios efetivos de classificação e reconhecimento de singularidades reais e complexas, o estudo da sua topologia, e a investigação de invariantes e de condições de equisingularidade em famílias de  conjuntos e aplicações. As aplicações da teoria visam a descoberta de novos resultados sobre a geometria de superfícies em espaços euclidianos, e sobre classes especiais de equações diferenciais.

Com boa inserção internacional, um dos destaques do grupo é a organização, em São Carlos, da conferência internacional bienal, Workshop on Real and Complex Singularities (http://www.icmc.usp.br/~sing ) que se tornou uma tradição nos eventos internacionais sobre a teoria das singularidades.

 Apresentação da equipe:

Compõem a equipe doze (12) pesquisadores do ICMC- USP/São Carlos (9 professores e 3 bolsistas de pós-doutorado), que interagem com grupos de pesquisa em formação das instituições associadas ao projeto, entre as quais, o IBILCE-Unesp/Rio Preto (3 pesquisadores), Unesp/Rio Claro (1 pesquisador), UFSCar (1 pesquisador), UEM (4 pesquisadores), UFC (2 pesquisadores), UFPb (1 pesquisador), UFES (1 pesquisador) e URCA (2 pesquisadores). As principais colaborações no exterior incluem as Universidades de Valência e Autônoma de Barcelona, na Espanha; Halle na Alemanha; Northeastern e Columbia nos Estados Unidos; Saitama e Hokkaido, no Japão; Warwick, Leeds e Durham na Inglaterra; o Institut de Mathématiques de Luminy, a Université de Provence e a Université de Lille, na França; a Universidade do Porto em Portugal, o Instituto de Matemática em Cuernavaca.

Pesquisadores principais:

Maria Aparecida Soares Ruas (ICMC-USP), Marcelo José Saia (ICMC-USP), Victor Hugo Jorge Perez (ICMC-USP), Miriam Manoel (ICMC-USP), Lev Birbrair (UFC), Alexandre Cesar Gurgel Fernandes (UFC), Ângela Maria Sitta (Unesp-Rio Preto), Marcelo Escudeiro Hernandes (UEM), Roberto Callejas Bedregal (UFPb).

Principais colaboradores:

M.C. Romero Fuster (Valência, Espanha), J.J.Nunno Ballesteros (Valência, Espanha), J. Rieger (Halle, Alemanha), F. Tari (Durham, UK), K. Houston (Leeds, UK), J-P Brasselet (Luminy, França), D. Trotman (Provence, França), J.Seade (Cuernavaca, México), S. Izumiya (Hokkaido, Japão), J. Llibre (Barcelona, Espanha), T. Gaffney (Northeastern , EU), W. Newman (Columbia, EU), D. Siersma ( Utrecht, Holanda), S. Janeczko (Banach Center, Polônia), M. Tibar (Lille, França).

Linhas de pesquisa:

A teoria de singularidades se aplica a várias  áreas das ciências e interage com diversas áreas da  matemática, entre as quais geometria algébrica, geometria diferencial e teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias. Por outro lado, estas áreas têm  enriquecido a teoria de singularidades com problemas e resultados importantes.

O principal objetivo do projeto é a interação das atividades de pesquisa em singularidades de aplicações diferenciáveis da equipe líder da USP/São Carlos   com pesquisadores de outros estados, como Ceará, Paraná e Paraíba, e também de outros países, entre os quais Alemanha, Espanha, Estados Unidos, França, Inglaterra, Japão, México, Polônia e Portugal,  buscando promover o desenvolvimento dos seguintes temas:

1) topologia e classificação das singularidades; 2) multiplicidade, fecho integral e equisingularidade, 3) teoria métrica de singularidades,  4) singularidades em geometria diferencial e equações implícitas, 5) aplicações da teoria de singularidades a problemas de bifurcações.

1) A linha de pesquisa topologia e classificação das singularidades propõe  o desenvolvimento de princípios efetivos de classificação de singularidades, e o estudo de invariantes e da topologia de singularidades, com ênfase no estudo das singularidades não isoladas de conjuntos e aplicações. Destacam-se nesta linha, dois  projetos principais:

1.1.Topologia de singularidades não isoladas: A combinação de métodos da álgebra comutativa e da geometria analítica complexa, abordagem clássica para o estudo da trivialidade topológica e da Whitney equisingularidade de famílias de conjuntos e aplicações holomorfas, promoveu nas últimas três décadas um grande avanço da teoria das singularidades isoladas, com os resultados de B. Teissier, Lê Dúng Tráng, T. Gaffney, J.P. Henry, M. Merle, R.O. Buchweitz, G.M.Greuel, etc.  Uma questão fundamental que se coloca atualmente é o desenvolvimento da teoria de singularidades não isoladas. O objetivo deste projeto é o estudo de invariantes e da topologia de singularidades não isoladas de conjuntos e aplicações. São também esperados novos resultados sobre a trivialidade topológica e equisingularidade de famílias.

O estudo das singularidades reais oferece dificuldades adicionais, uma vez que não há métodos gerais para a determinação de invariantes e o estudo da sua topologia.

Nesta direção, o grupo utiliza a "expertise'' alcançada no estudo das singularidades finitamente determinadas, para o avanço no tema. São esperados novos resultados sobre M-deformações de singularidades reais, sobre fibrações de Milnor de singularidades analíticas reais, dando continuidade a resultados já obtidos pelo grupo.

Equipe: M.Ruas, M.Saia, V.H.J.Perez, J.Tomazella, R.Bedregal, R.Nonato (ICMC-USP), E.C.Rizziolli, R.G.W.Atique, N. Grulha Junior, G.F.Barbosa, R. Martins.

Colaboradores estrangeiros: T. Gaffney, J.Rieger, M. Tibar, K. Houston, J.P.Brasselet, J.J.Nunno-Ballesteros, J.Seade.

 1.2. Classificação de curvas e superfícies. Os métodos de classificação de singularidades têm sido aplicados e refinados pelos integrantes das equipes, que têm desenvolvido algorítmos computacionais especiais para a classificação de singularidades de curvas planas e espaciais. Neste projeto, um dos objetivos é a continuidade do estudo da classificação analítica de curvas, e a extensão dos resultados obtidos para o estudo de superfícies singulares em Cn.

Equipe: M.Ruas, M.Saia, J.Tomazella,  R.G.W.Atique, G. F. Barbosa, W.L. Marar, M.E.Rodrigues Hernandes, M.E.Hernandes, R.Martins, C.H.Soares.

Colaboradores estrangeiros: T. Gaffney, J.J.Nunno-Ballesteros, T. Gaffney, J. Rieger.

2) O tema multiplicidade, fecho integral e equisingularidade, tem como objetivo a determinação de invariantes numéricos que caracterizem a equisingularidade de famílias de germes de variedades analíticas complexas. A ênfase aqui é na utilização de métodos de álgebra comutativa para estender o conceito de multiplicidade para  ideais e módulos que não têm codimensão finita. Este é uma questão difícil, um dos principais desafios da teoria de singularidades atualmente.  Entre os pesquisadores que atuam também nesta linha de pesquisa estão T. Gaffney e S. Kleiman.

Equipe: V. H. Jorge Perez, R.C.Bedregal, M.J.Saia, J.Tomazella.

Colaboradores estrangeiros: T. Gaffney 

3) A teoria métrica das singularidades estuda o problema de classificação de conjuntos algébricos (semi-algébricos) singulares, munidos de métricas naturais como a métrica intrínseca e a métrica euclidiana induzida, com respeito a relação de equivalência por homeomorfismos bi-Lipschitz. Diversos resultados sobre a classificação bi-Lipschitz de superfícies singulares foram obtidos pela equipe. Pretendemos ampliar este estudo e obter uma classificação de conjuntos algébricos singulares de dimensões superiores. Resultados sobre a K-equivalência bi-Lipschitz de aplicações analíticas serão também obtidos.

Equipe: L.Birbrair, M.Ruas, A C.Gurgel , J.C.Ferreira Costa, L.Challapa.

Colaboradores estrangeiros: W. Neumann, D.Siersma, D.Trotman, G. Valette. 

4) A linha de pesquisa  singularidades em geometria diferencial e equações implícitas é motivada pela  descoberta de novos resultados sobre a geometria de variedades em espaços euclidianos de dimensão mais alta e em espaços hiperbólicos, e pelo estudo de classes especiais de equações  diferenciais. Esta linha de pesquisa se encontra em uma fase muito positiva, com os novos resultados, obtidos por Saji, Umehara e Yamada, sobre a geometria de frentes de ondas, a ser publicado no Annals of Math. São esperados novos resultados do grupo sobre a geometria de mergulhos em codimensão alta, e sobre classificação de singularidades de campos vetoriais e equações diferenciais em variedades singulares.

Equipe: M.Ruas, A C. Nabarro, R.De Lazari Oliveira, L. Challapa, J.C.Ferreira Costa,  M.Buosi, L.F. Martins, C.Mendes de Jesus, S. Moraes.

Colaboradores estrangeiros: M.C.Romero-Fuster, S. Izumiya, F. Tari, S. Janeczko, J. Llibre.  

5) O tema aplicações da teoria de singularidades a problemas de bifurcações  tem como  objetivo estabelecer métodos da teoria de singularidades para classificação e reconhecimento de problemas de bifurcação multiparamétricos de codimensão finita, com ou sem simetria, e estudar a geometria dos conjuntos de bifurcação. Novos resultados sobre problemas de bifurcação em espaços singulares, em coerência com os objetivos gerais deste projeto,  são esperados.

Equipe: M. Manoel,  A M. Sitta, J.C.Ferreira Costa, P. Baptistelli, S. Mancini.

Colaboradores estrangeiros:  I. S. Labouriau, A P. Dias, F.M. Antoneli Junior.
Colaboradores nacionais: C. Buzzi, M.A Teixeira.  

As linhas de pesquisas estão articuladas entre si possibilitando a interação dos diversos pesquisadores e o cumprimento dos objetivos.  Os pesquisadores envolvidos no projeto possuem boa experiência nas áreas de pesquisa em pauta e a colaboração prévia entre os mesmos já produziu excelentes resultados. Relacionamos a seguir alguns trabalhos publicados pelos pesquisadores da equipe, nos últimos três anos, nas linhas de pesquisa acima descritas. 

Metas:

  • Intensificar o Programa de Pós-Doutorado: a meta para os próximos 5 anos é aumentar de 2 para  5 bolsistas por ano.
  • Aumentar consideravelmente a formação de doutores: a meta é aumentar de 10 doutores formados no último triênio  para  25 doutores nos próximos 5 anos.
  • Consolidar a atuação em pesquisa dos jovens doutores: a meta é aumentar de 7 para 10 o número de bolsistas de Produtividade em Pesquisa nos próximos 5 anos.
  • Intensificar a  inserção internacional – estabelecer  5 convênios bilaterais, com as universidades de Valéncia, Hokkaido, Durham, Provence e com o Instituto de Matemática da Academia Polonesa de Ciências.
  • Consolidar os grupos de singularidades nos centros emergentes: a) envolver todos os pesquisadores do grupo de singularidades do IBILCE-UNESP no programa de Doutorado recentemente iniciado e envolver todos os pesquisadores de singularidades da UEM na orientação de Mestrados; b) iniciar a formação de doutores em teoria métrica das singularidades na UFC; c) intensificar a colaboração com os demais centros participantes do projeto, contribuindo para a consolidação em pesquisa dos jovens pesquisadores desses centros.

 Avanços Esperados

  1.  Aumentar a formação de doutores: Nos últimos 5 anos, 15 doutorados foram concluídos, dos quais 10 no último triênio, todos eles no ICMC-USP. A meta para os próximos cinco anos é formar 25 novos doutores. Para tanto, contamos com a participação de um maior número de orientadores no programa de doutorado da equipe líder, e com o início de formação de doutores na área de Singularidades nos  Programas de Doutorado da UNESP/S.J.Rio Preto,  recém criado,  e nos programas de Doutorado da UFSCar e da UFC.
  2. Intensificar o programa de Pós-Doutorado no ICMC/USP: atualmente, a equipe líder supervisiona, em média, 2 bolsistas de pós-doutorado por ano.  A meta para os próximos 5 anos é aumentar para (pelo menos) 5 bolsistas por ano.
  3. Consolidar a atuação em pesquisa dos jovens pesquisadores: A equipe é formada por 25 pesquisadores, 50% dos quais concluíram o doutorado há no máximo 6 anos. Esperamos nos próximos 5 anos aumentar o número de pesquisadores com bolsa de produtividade em pesquisa do CNPq de 7 para 10.
  4. Consolidação dos centros emergentes:  as atividades do projeto vão contribuir para a consolidação dos grupos emergentes de singularidades nos diversos centros participantes do projeto.  

Atividades do grupo nos próximos cinco anos

Para alcançar as metas estabelecidas, o grupo propõe a realização do seguinte programa de atividades:

  1. Professores Visitantes:  David Trotman (Abril-Maio 2010); Walter Neumann (Agosto 2010);  Joachim Rieger (Agosto 2009); Shyuichi Izumiya (Julho-Agosto 2010); David Massey (Março 2011); Jean-Paul Brasselet (Julho 2009); Maria Del Carmen Romero-Fuster (Agosto 2009), Dirk Siersma (Março 2011), W. Ebeling (Julho-Agosto 2010), J.Seade (Abril
  2. Intercâmbio científico nacional: visitas curtas dos pesquisadores do projeto aos demais centros participantes para o desenvolvimento dos projetos de pesquisa.
  3. Congressos e  workshops: organizar o International Workshop on Real and Complex  Singularities em  julho de 2010 e julho de 2012; os mini-workshops em Singularidades, Geometria e Equações Diferenciais organizados como parte das atividades dos Programas de Verão do ICMC serão realizados em 2009 e 2011.
  4. Seminários Novas Fronteiras: o primeiro semestre de 2010 será dedicado ao tema Topologia de Espaços Estratificados e Aplicações. O objetivo é envolver singularistas, topólogos e pesquisadores da área de sistemas dinâmicos no estudo da topologia  dos espaços estratificados, e suas aplicações aos sistemas dinâmicos em conjuntos singulares. Durante cada mês, por exemplo, na última sexta-feira de cada mês, serão realizadas palestras nos temas em pauta. Em abril de 2010 será realizado o Workshop Topology of Stratified Spaces.