O projeto congrega de uma maneira abrangente e ao mesmo tempo coerente, os mais ativos grupos de pesquisa em matemática fundamental e aplicada do país, enfatizando-se uma intensa colaboração de tais grupos entre si e de outras áreas do conhecimento, bem como com parceiros estrangeiros de alto nível.
ÁLGEBRA E GEOMETRIA ALGÉBRICA
Grupos da área: Grupo de Álgebras e Representações; Grupo de Geometria Algébrica, Álgebra Comutativa e Teoria dos Números; Grupo de Teoria dos Grupos.
ANÁLISE E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Áreas de pesquisa no país: Análise Funcional e Aplicações; Análise Harmônica, Teoria da Aproximação e Aplicações; Equações de Evolução Dispersivas; Equações Hiperbólicas; Equações Não Lineares do Tipo Elíptico; Sistemas Dinâmicos Não Lineares; Teoria Geométrica das Equações Diferenciais Parciais e Várias Variáveis Complexas; Dinâmica dos Fluidos.
COMBINATÓRIA E ALGORITMOS
O problema fundamental que norteia a pesquisa proposta nesta área é como segue: Investigar características estruturais, algorítmicas e numéricas de grafos, hipergrafos e estruturas relacionadas de grandes proporções, sujeitos a restrições locais ou globais naturais, através do estudo de classes específicas de tais objetos, o estudo de classes típicas através de técnicas probabilísticas e o estudo de classes extremais através de diversas técnicas combinatórias e não combinatórias, incluindo técnicas de natureza algébrica, analítica e topológica.
COMPUTAÇÃO VISUAL
Linhas de Pesquisa: Modelagem Geométrica; Processamento de Imagens; Visão Computacional; Animação e Métodos Físicos.
ECONOMIA MATEMÁTICA
Um dos modelos mais bem sucedidos de economia matemática é o de equilíbrio geral. Este arcabouço bastante clássico serve como uma ferramenta para testar muitas hipóteses econômicas. Por esta razão, nossas pesquisas se fundamentam na utilização de ferramentas da Teoria Moderna de Equilíbrio Geral com ambiguidade, risco e default.
ENSINO DA MATEMÁTICA
Na qualidade do ensino de matemática são decisivas (1) a qualidade e a adequação de materiais didáticos, especificamente a consistência e a correção matemática dos conteúdos tratados; (2) a formação de professores e o desenvolvimento de práticas didáticas de forma integrada com o uso desses materiais.
FÍSICA-MATEMÁTICA
Durante os últimos vinte anos, nossa pesquisa tem se centrado no entendimento do papel da supersimetria de espaço-tempo na supercorda. Esta pesquisa nos levou a descobrir um novo formalismo de supercordas onde a supersimetria de espaço-tempo e manifesta e que pode ser quantizado em gauges covariantes. O novo formalismo envolve objetos matemáticos chamados “spinores puros” e nos próximos anos, planejamos continuar nossos estudos deste formalismo de spinores puros e suas aplicações.
GEOMETRIA DIFERENCIAL
Linhas de pesquisa: Teoria de subvariedades, incluindo superfícies mínimas, CMC em variedades semi-Riemannianas, e suas generalizações; Geometria e topologia das variedades Hilbertianas: relações entre geometria e topologia das variedades Riemannianas de dimensão infinita; Grupos de Lie e ações isométricas. Espaços simétricos e homogêneos; Geometria de variedades com curvatura positiva; Geometria simplética e de Poisson; Fluxos geométricos. Sólitons de Ricci; EDP’s em variedades e Análise Global; Geometria espectral e geometria estocástica; Teoria de Folheações; Relatividade Matemática; Geometria complexa e variedades.
GEOMETRIA SIMPLÉTICA
Linhas de pesquisa: Geometria de Poisson e estruturas relacionadas; Topologia simplética e dinâmica hamiltoniana.
MATEMÁTICA INDUSTRIAL
Visa o estabelecimento de vínculos acadêmicos entre instituições de pesquisa e de vínculos entre universidades e empresas para que objetivos comuns possam ser alcançados. Um grande desafio a ser enfrentado será criar sinergia altamente positiva entre os centros de desenvolvimento de projetos de pesquisa e inovação em Matemática Industrial/Empresarial e os setores produtores de bens e serviços e outras ciências.
MATEMÁTICA DO PETRÓLEO
Neste projeto, estudaremos problema de Riemann e ondas viajantes para uma classe de sistemas de equações diferenciais parciais evolutivas (leis de balanço) que surgem em problemas de recuperação de petróleo. Propomos estudar o método em que ar pressurizado é injetado no reservatório de petróleo leve e reage com parte deste, gerando calor (combustão in situ). O petróleo aquecido evapora das regiões de baixa permeabilidade e condensa em regiões com alta permeabilidade, nas quais pode ser recuperado ulteriormente. Este problema tem recebido muita atenção na literatura recente de engenharias, e requer o desenvolvimento de uma teoria matemática adequada.
MODELAGEM AMBIENTAL
Fazendo uso de equações diferenciais relativamente mais simples (isto é, os modelos reduzidos) é possível desenvolver teoria matemática assim como implementar modelos computacionais mais eficientes. A meta é formular modelos reduzidos capazes de capturar com precisão a dinâmica não-linear envolvida no fenômeno físico em questão. E também que possam ser implementados com ajuda de métodos numéricos eficientes, tendo assim um impacto tecnológico importante na área de Dinâmica dos Fluidos aplicada à Modelagem Ambiental.
MÉTODOS MATEMÁTICOS E MODELAGEM DE FENÔMENOS BIOFÍSICOS
Linhas de pesquisa: Equações Diferenciais em Biologia: Teoria Cinética, Quimiotaxia e Dinâmica de Populações Estruturadas; Problemas Inversos em Biologia: Aplicações aos Sistemas Ambientais; Dinâmica de Processos Evolucionários e Teoria dos Jogos.
OLIMPÍADAS DE MATEMÁTICA
Pode-se afirmar que a Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) tem tido sucesso marcante em seus objetivos de difusão, de influência significativa na melhoria do ensino, de descoberta e estímulo de grandes talentos, vários dos quais se tornaram brilhantes pesquisadores que vem dando, desde muito jovens, importantes contribuições à ciência brasileira – o mais eloquente exemplo recente é o de Artur Avila, que foi atraído para a carreira acadêmica a partir da OBM e ganhou recentemente uma Medalha Fields.
OTIMIZAÇÃO
A teoria de otimização desenvolvida pelos membros do grupo inclui: desenvolvimento de novas condições de qualificação e condições de otimalidade; para programação não linear, problemas Multiobjetivo e problemas de otimização náo-standard (como Otimização do valor ordenado generalizada); Desempenho ótimo de algoritmos para otimização quadrática; Estudo de complexidade algorítmica; Métodos de otimização que não utilizam a derivada da função objetivo; Métodos de penalização para otimização com restrições; Análise convexa e operadores monótonos; Desigualdades variacionais estocásticas; Problemas de autovalores complementários; Métodos de otimização para problemas não-convexos difíceis, incluindo problemas com restrições irregulares de equilíbrio; Otimização não-diferenciável com dados inexatos; Variantes contemporâneas do método de Benders (problemas não convexos e problemas de equilíbrio com aversão ao risco); Estrutura suave implícita e não convexidade
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Convergência em distribuição de sistemas de passeios aleatórios, limite em escala de soluções da equação de Kadar-Parisi-Zhang, Modelos de reservatórios de corrente, Percolação e modelos ferromagnéticos com interações de longo alcance, Cadeias com conexões completas, g-medidas, Processos Markovianos, Passeios aleatórios, Passeios aleatórios em meio aleatório, entrelaçamentos aleatórios, redes de filas, modelos de estocagem, modelos de evolução de espécies, modelos de difusão de rumores, limites de escala para dinâmicas para vidros de spin em campo médio, limites de escala para modelos de armadilhas, modelos de sapos, sistemas de trajetórias coalescentes e teia Browniana, percolação, grafos aleatórios, redes complexas, modelos de percolação e de Ising com longo alcance críticos em camadas, critério de multiplicidade de medidas g, modelos de Potts e percolação no grafo dual de triangulações causais, dinâmica populacional.
SISTEMAS DINÂMICOS
Linhas de pesquisa: Sistemas Dinâmicos Dissipativos. Teoria Ergódica e Formalismo Termodinâmico de Sistemas não Uniformemente Hiperbólicos; Dinâmica Unidimensional e Extensões a Outras Dimensões; Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais e das Equações da Geometria Clássica; Sistemas Dinâmicos Conservativos: Propriedades Ergódicas, Variacionais e Topológicas; Folheações Holomorfas e Sistemas Dinâmicos Complexos; Cociclos SL(2,R) e aplicações à equação de Schrödinger.
TOPOLOGIA E SINGULARIDADES
Atualmente, há um amplo espectro de possibilidades de interação entre estas duas áreas, e a colaboração entre as equipes é principalmente esperada no desenvolvimento das seguintes linhas de pesquisa: Topologia de espaços estratificados; Teoria global de singularidades. Aplicações estáveis entre variedades.